2.1 複素数の関数

1. $z = x + iy$， $w = u + iv$より$w = z^2$を計算すると

$$w = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy) = u + iv$$

これより $u = x^2 - y^2$，$v = 2xy$となる．次に，この式を$x,y$について解く． $v = 2xy$より $y = \frac{v}{2x}$．これを $u = x^2 - y^2$に代入すると

$$u = x^2 - (\frac{v}{2x})^2 = x^2 - \frac{v^2}{4x^2}$$

両辺を$4x^2$倍すると

$$4x^4 - 4x^2 u - v^2 = 0$$

これは$x^2$についての2次式と考えることができる．つまり$x^2 = X$とおく． よって，解の公式から

$$x^2 = \frac{2u \pm \sqrt{4u^2 + 4v^2}}{4} = \frac{u \pm \sqrt{u^2 + v^2}}{2}$$

ここで，$x$は実部であることに注意すると，

$$x^2 = \frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}$$

これより

$$x = \pm \sqrt{\frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}}$$

を得る．次に$y$を求める． $u = x^2 - y^2$より

$$y^{2} = x^2 - u = \frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2} - u = \frac{-u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}$$

よって

$$y = \pm \sqrt{\frac{-u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}}$$

次に$z$平面の実軸に平行な直線 $y = \pm b \ (b > 0)$がどんな曲線に写されるか考える． 上の式から$y = \pm b$は

$$y = \pm b = \pm \sqrt{\frac{-u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}}$$

を満たす． よって

$$b^2 = \frac{-u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}$$

となり $v^2 = 4b^2(b^2 + u)$という放物線に写される．

同様に，$z$平面の虚軸に平行な直線 $x = \pm a \ (a > 0)$は

$$x = \pm a = \pm \sqrt{\frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}}$$

を満たす．よって

$$a^2 = \frac{u + \sqrt{u^2 + v^2}}{2}$$

となり $v^2 = 4a^2(a^2 - u)$という放物線に写される．

2.

(a) $z = x + iy$，$w = u + iv$とおくと

$$u + iv = z^3 = (x + iy)^3 = x^3 - 3xy^2 + i(3x^2 y - y^3)$$

より $u = x^3 - 3xy^2, \ v = 3x^2 y -y^3$．

(b) $z = x + iy$，$w = u + iv$とおくと

$$u + iv = \frac{z}{z+1} = \frac{z(\bar{z} + 1)}{\vert z + 1\vert^2} = \frac{\vert z\vert^2 + z}{\vert z+1\vert^2}$$

ここで， $\vert z\vert^2 = x^2 + y^2$に注意すると

$$u + iv = \frac{x^2 + y^2 + x + iy}{(x+1)^2 + y^2}$$

したがって， $u = \frac{x^2 + y^2 + x}{(x+1)^2 + y^2}, \ v = \frac{y}{(x+1)^2 + y^2}$．

(c) $z = x + iy$，$w = u + iv$とおくと

$$u + iv = \frac{z - i}{z + i} = \frac{(z-i)(z-i)}{\vert z + i\vert^2} = \frac{(x + i(y-1))^2}{\vert z+i\vert^2}$$

ここで， $\vert z+i\vert^2 = x^2 + (y+1)^2$に注意すると

$$u + iv = \frac{x^2 - (y-1)^2 + 2ix(y-1)}{x^2 + (y+1)^2}$$

したがって， $u = \frac{x^2 - (y-1)^2}{x^2 + (y+1)^2}, \ v = \frac{2x(y-1)}{x^2 + (y+1)^2}$．