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6.5 解答

6.5

1. 方向微分は

$\displaystyle f_{{\hat u}}'(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot {\hat u}$

で与えられる．ここで，$ {\hat u}$は$ u$方向の単位ベクトルを表わす．

(a) 単位方向ベクトル$ {\hat u}$を求めると

$\displaystyle {\hat u} = \frac{(1,\sqrt{3})}{\Vert(1,\sqrt{3})\Vert} = \frac{(1,\sqrt{3})}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{(1,\sqrt{3})}{2}$

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (2x+1, 1)$

よって，点$ (0,0)$における方向微分は

$\displaystyle f_{\hat u}'(0,0) = \nabla f(0,0) \cdot {\hat u} = (1,1)\cdot \frac{(1,\sqrt{3})}{2} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{3})$

(b)

単位方向ベクトル$ {\hat u}$を求めると

$\displaystyle {\hat u} = \frac{(1,\sqrt{3})}{\Vert(1,\sqrt{3})\Vert} = \frac{(1,\sqrt{3})}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{(1,\sqrt{3})}{2}$

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (-\sin{x}, \cos{y})$

よって，点$ (0,0)$における方向微分は

$\displaystyle f_{\hat u}'(0,0) = \nabla f(0,0) \cdot {\hat u} = (0,1)\cdot \frac{(1,\sqrt{3})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2.

(a) $ \frac{2\pi}{3}$方向とは，$ x$軸から $ \frac{2\pi}{3}$の方向のことである．そこで，単位方向ベクトル$ {\hat u}$を求めると

$\displaystyle {\hat u} = (\cos{\frac{2\pi}{3}}, \sin{\frac{2\pi}{3}}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}).$

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (\frac{x^2y - 2xy^2}{(x-y)^2}, \frac{x^3}{(x-y)^2})$

よって，点$ (1,-1)$における方向微分は

$\displaystyle f_{\hat u}'(1,-1) = \nabla f(1,-1) \cdot {\hat u} = (-\frac{3}{4},\frac{1}{4})\cdot (-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 + \sqrt{3}}{8}$

(b) $ \frac{2\pi}{3}$方向とは，$ x$軸から $ \frac{2\pi}{3}$の方向のことである．そこで，単位方向ベクトル$ {\hat u}$を求めると

$\displaystyle {\hat u} = (\cos{\frac{2\pi}{3}}, \sin{\frac{2\pi}{3}}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}).$

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (\frac{2x}{x^2 + y^2}, \frac{2y}{x^2 + y^2})$

よって，点$ (1,-1)$における方向微分は

$\displaystyle f_{\hat u}'(1,-1) = \nabla f(1,-1) \cdot {\hat u} = (1,-1)\cdot (-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2}(1 + \sqrt{3})$

3.

(a) 単位方向ベクトル$ {\hat u}$を求めると

$\displaystyle {\hat u} = \frac{(-1,3)}{\Vert(-1,3)\Vert} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}}$

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (\log{y}, \frac{x+1}{y})$

よって，点$ (0,1)$における方向微分は

$\displaystyle f_{\hat u}'(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot {\hat u} = (0,1)\cdot \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

方向微分が最大になるのは，方向が$ \nabla f$と同じ方向のときなので，

$\displaystyle {\hat u} = (0,1)$

(b) 単位方向ベクトル$ {\hat u}$を求めると

$\displaystyle {\hat u} = \frac{(-1,3)}{\Vert(-1,3)\Vert} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}}$

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (y^2 e^{xy} + (x-1)y^3 e^{xy}, 2(x-1)ye^{xy} + x(x-1)y^2 e^{xy})$

よって，点$ (0,1)$における方向微分は

$\displaystyle f_{\hat u}'(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot {\hat u} = (0,-2)\cdot(\frac{(-1,3)}{\sqrt{10}} = \frac{-6}{\sqrt{10}}$

方向微分が最大になるのは，方向が$ \nabla f$と同じ方向のときなので，

$\displaystyle {\hat u} = \frac{(0,-2)}{\Vert(0,-2)\Vert} = (0,-1)$