6.4 解答

6.4

1. 次のことを確認します．の全微分は

$\displaystyle df(x,y) = f_{x}(x,y)dx + f_{y}(x,y)dy$

で与えられる．

の勾配 $\nabla f$ は

$\displaystyle \nabla f(x,y) = (f_{x}(x,y), f_{y}(x,y)$

で与えられる．点 $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})$ を通る

の接平面の方程式は

$\displaystyle z = f(x_{0},y_{0}) + \nabla f(x_{0},y_{0}) \cdot (x - x_{0}, y- y_{0})$

で与えられる．点 $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})$ を通る

の法線の方程式は

$\displaystyle (x,y,z) - (x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})) = t(f_{x}(x_{0},y_{0},-1)$

で与えられる．

(a) $f_{x}(x,y) = 3x^2 y^4, f_{y}(x,y) = 4x^3 y^3$ より

$\displaystyle df(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 3x^2 y^4 dx + 4x^3 y^3 dy$
$\displaystyle \nabla f(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (3x^2 y^4, 4x^3 y^3)$

点

に対応する点を通る接平面の方程式は

$\displaystyle z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f(1,1) + \nabla f(1,1) \cdot (x - 1,y-1)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 1 + 3(x-1) + 4(y-1) = 3x + 4y -6$

点

に対応する点を通る法線の方程式は

$\displaystyle (x,y,z) - (1,1,1) = t(3,4,-1)$

または，

$\displaystyle t = \frac{x-1}{3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z -1}{-1}$

(b)

$f_{x}(x,y) = 3x^2 y + 2xy^4, f_{y}(x,y) = x^3 + 4x^2 y^3$ より

$\displaystyle df(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (3x^2y + 2xy^4) dx + (x^3 + 4x^2 y^3) dy$
$\displaystyle \nabla f(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (3x^2y + 2xy^4, x^3 + 4x^2 y^3)$

点

に対応する点を通る接平面の方程式は

$\displaystyle z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f(1,1) + \nabla f(1,1) \cdot (x - 1,y-1)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2 + (5,5) \cdot (x-1,y-1) = 2 + 5x - 5 + 5y - 5$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 5x + 5y - 8$

点

に対応する点を通る法線の方程式は

$\displaystyle (x,y,z) - (1,1,2) = t(5,5,-1)$

または，

$\displaystyle t = \frac{x-1}{5} = \frac{y-1}{5} = \frac{z -2}{-1}$

(c)

$z_{x} = 2xye^{2x} + 2x^2 y e^{2x}, z_{y} = x^2 e^{2x}$ より

$\displaystyle dz$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (2xye^{2x} + 2x^2 y e^{2x}) dx + x^2 e^{2x}dy$
$\displaystyle \nabla f(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (2xye^{2x} + 2x^2 y e^{2x}, x^2 e^{2x})$

点

に対応する点を通る接平面の方程式は

$\displaystyle z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^2 + (2e^2 + 2e^2) \cdot (x - 1,y-1)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^2 + 4e^2(x-1) + e^2(y-1)$

点

に対応する点を通る法線の方程式は

$\displaystyle (x,y,z) - (1,1,e^2) = t(4e^2,e^2,-1)$

または，

$\displaystyle t = \frac{x-1}{4e^2} = \frac{y-1}{e^2} = \frac{z - e^2}{-1}$

(a) $f(x,y) = \sqrt{x}\sqrt[4]{y}$ を考えると $f(121,16) = \sqrt{121}\sqrt[4]{16} = 22$ ．求める値は．ここで， $\Delta x = 4, \Delta y = 1$ とおくと

$\displaystyle f(121+4,16+1)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f(121,16) + \Delta f(121,16)$
	$\displaystyle \approx$	$\displaystyle f(121,16) + df(121,16)$

$\displaystyle df$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f_{x}dx + f_{y}dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}dx + \frac{1}{4}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{3}{4}}dy$

$\Delta x = dx, \Delta y = dy$ より

$\displaystyle df(121,16) = \frac{4}{11} + \frac{11}{32} \approx 0.7$

したがって， $f(125,17) \approx 22.7$

(b) $f(x,y) = \sin{x}\cos{y}$ を考えると $f(\pi,\frac{\pi}{3}) = \sin{\pi}\cos{\frac{\pi}{3}} = 0$ ．求める値は $f(\frac{6\pi}{7},\frac{\pi}{3}) = f(\pi - \frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3})$ ．ここで， $\Delta x = -\frac{\pi}{7}, \Delta y = 0$ とおくと

$\displaystyle f(\frac{6\pi}{7},\frac{\pi}{3})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f(\pi,\frac{\pi}{3}) + \Delta f(\pi,\frac{\pi}{3})$
	$\displaystyle \approx$	$\displaystyle f(\pi,\frac{\pi}{3}) + df(\pi,\frac{\pi}{3})$

$\displaystyle df$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f_{x}dx + f_{y}dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \cos{x}\cos{y}dx - \sin{x}\sin{y}dy$

$\Delta x = dx, \Delta y = dy$ より

$\displaystyle df(\pi,\frac{\pi}{3}) = \cos{\pi}\cos{\frac{\pi}{3}}dx - \sin{\pi}\sin{\frac{\pi}{3}}dy =\frac{\pi}{14} \approx 0.22$

したがって， $f(\frac{6\pi}{7},\frac{\pi}{3}) \approx 0.22$