6.2 解答

6.2

(a) $D = \{(x,y) : 0 < x^2 + y^2 < 1\}$ は半径1の円を表わし，中心とその外周を含んでいない．したがって，の中にどんな点をとってもその近傍がに含まれるようにすることができる．よって，は開集合である．

は中心を原点とする半径の円に含まれるので有界．

に属するどの2点も，の中だけを通る連続な曲線で結べるので連結．

連結な開集合を領域というのでは領域．

Dの境界 $\displaystyle{\partial D = \{(x,y) : x^2 + y^2 = 1\}}$

Dの閉領域 $\displaystyle{ {\bar D} = \{(x,y) : 0 \leq x^2 + y^2 \leq 1 \}}$

(b)

$D = \{(x,y) : xy \leq 0\}$ より $\sim D = \{(x,y) : xy > 0\}$ ． $\sim D$ は開集合なので，は閉集合である．

どんな半径を持つ開円板 $\{(x,y) : x^2 + y^2 < R\}$ にも集合は含まれないので非有界．

に属するどの2点も，の中だけを通る連続な曲線で結べるので連結．

Dの境界 $\displaystyle{\partial D = \{(x,y) : xy = 0\}}$

Dの閉領域 $\displaystyle{{\bar D} = \{(x,y) : 0 \leq xy \leq 0 \}}$

(a) 分子の項の最小次数分母の項の最小次数．よって分母の方が速く0に近づく．そこで，とおくと

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{mx^2}}{x^2 + m^2 x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{m}}{x(1+m^2)} = \infty$

となり，存在しない．

(b) 分子の項の最小次数分母の項の最小次数よりとおくと

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{m x^2}{x^2 + m^2 x^2 + m^4 x^4} = \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{m}}{(1+m^2)} = \frac{m}{1 + m^2}.$

これは，

の値によって異なるから， $\lim_{(x,y) \to 0}\frac{xy}{x^2 + y^2 + y^4}$ は存在しない．

$\displaystyle \vert\frac{xy}{x^2 + y^2 + y}\vert = \vert\frac{r^2 \cos{\theta}\... ... + r\sin{\theta}}\vert = \vert\frac{1}{1 + \frac{1}{r}\sin{\theta}}\vert \to 0.$

したがって，はさみ撃ちの定理より $\lim_{(x,y) \to 0}\frac{xy}{x^2 + y^2 + y} = 0$ ．

(a)

$\displaystyle \lim_{(x,y) \to 0}\frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0$

が成り立つか調べる．

分子の項の最小次数分母の項の最小次数．よって分子の方が速く0に近づく．そこで， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$ とおくと

$\displaystyle \vert\frac{x^2 y}{x^2 + y^2}\vert = \vert\frac{r^3 \cos^{2}{\thet... ...= \vert r\cos^{2}{\theta}\sin{\theta}\vert \leq \vert r\vert \to 0 (r \to 0).$