関数の極限(limit of function)

演習問題

1.: 次の集合は開集合，閉集合，有界な集合，連結な集合，または，領域か調べ，境界と閉包を求めよう．
(a): $\displaystyle{D = \{(x,y) : 0 < x^2 + y^2 < 1 \}}$
(b): $\displaystyle{D = \{(x,y) : x y \leq 0 \}}$
2.: $(x,y) \rightarrow (0,0)$ のとき，次の関数の極限値を求めよう．
(a): $\displaystyle{\frac{\sqrt{xy}}{x^2 + y^2}}$
(b): $\displaystyle{\frac{xy}{x^2 + y^2 + y^4} }$
(c): $\displaystyle{\frac{xy}{x^2 + y^2 + y}}$
3.: 次の関数のにおける連続性を調べよう．
(a): $\displaystyle{f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} \frac{x^2y}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0)\\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{array}\right.}$
(b): $\displaystyle{ f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0)\\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{array}\right.}$
(c): $\displaystyle{ f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} xy \log(x^2 + y^2), & (x,y) \neq (0,0)\\ -1, & (x,y) = (0,0) \end{array}\right.}$