1.1 解答

1.1

(a) 例えば，のときを考えてみよう． $y^{2} = 4.0$ を満たすは

$\displaystyle y^{2} - 4.0 = (y + 2.0)(y - 2.0) = 0$

より，

と

の2つある．これを一般化すると，

$\displaystyle y^{2} - x = (y + \sqrt{x})(y - \sqrt{x}) = 0$

より， $y^{2} = x, x > 0$ を満たす

は， $y = +\sqrt{x}$ と $y = -\sqrt{x}$ の2つある．したがって，それぞれ異なる正の実数

に対して，2つのyが対応しているので2価関数である.

(b) 例えば， $y^{3} = 2^{2}$ を考えてみよう．

$\displaystyle y^{3} - 4 = y^{3} - (2^{2/3})^{3} = (y - 2^{2/3})(y^{2} + 2^{2/3}y + 2^{4/3})$

ここで， $y^{2} + 2^{2/3}y + 2^{4/3} = 0$ は

についての２次方程式である．この方程式の判別式を計算すると，

$\displaystyle D = b^{2} - 4ac = (2^{2/3})^{2} - 4(1)(2^{4/3}) = 2^{4/3} - (4)2^{4/3} = 2^{4/3}(1 - 4) < 0$

したがって，この２次方程式は実数解を持たない．これを一般化すると，

$\displaystyle y^{3} - x^{2} = (y - x^{2/3})(y^{2} + x^{2/3}y + x^{4/3}) = 0$

ここで， $y^{2} + x^{2/3}y + x^{4/3} = 0$ は実数解をもたないので， $\displaystyle{y = x^{\frac{2}{3}}}$ 唯一つの実数解となる．したがって，1価関数．

(a) 定義域は関数f(x)の値が実数をとるようなの集合のことである. よって

(b) 定義域は関数f(x)の値が実数をとるようなの集合のことである. $\displaystyle{D(h) = (-\infty,-\frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3}]}$

(a)

$\displaystyle (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 1 = 2x^2 + 1$

$\displaystyle (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x - 1) = (2x-1)^2 + 1 = 4x^2 - 4x + 2$

(b) $f \circ g$ が意味を持つにはの値域がの定義域に含まれていなければならない．そこで，の値域を調べる．

$\displaystyle g(x) = \left\{\begin{array}{cl} -x, & x < 1\\ 1 + x, & x \geq 1 \end{array}\right.$

より

のとき，

．これが

の定義域に含まれるので，

の場合と $g(x) \leq 0$ の場合に分ける．

ならば，．また， $0 \leq x < 1$ ならば， $g(x) \leq 0$ ．よってのとき，を用い， $0 \leq x < 1$ のとき，を用いる．よって

$\displaystyle f(g(x)) = g(x)^2 = (-x)^2 = x^2, x < 0$

$\displaystyle f(g(x)) = 1 - g(x) = 1 - (-x) = 1 + x, 0 \leq x < 1$

次に， $x \geq 1$ のとき，

．これが

の定義域に含まれるので， $f(x) = 1 - x, x \leq 0$ を用いる．よって

$\displaystyle f(g(x)) = g(x)^2 = (1 + x)^2 , x \geq 1$

まとめると

$\displaystyle (f \circ g)(x) = \left\{\begin{array}{cl} x^2 & x < 0\\ 1 + x & 0 \leq x < 1\\ (1 + x)^2 & x \geq 1 \end{array}\right.$

同様に，

$\displaystyle (g \circ f)(x) = \left\{\begin{array}{cl} 2 - x & x \leq 0\\ - x^2 & 0 < x < 1\\ 1 + x^2 & x \geq 1 \end{array}\right.$

(a) まず，この関数が1対1の関数であることを示す．

$\displaystyle f(x_{1}) = f(x_{2})$	$\displaystyle \Longrightarrow$	$\displaystyle \frac{1}{x_{1} + 2} = \frac{1}{x_{2} + 2}$
	$\displaystyle \Longrightarrow$	$\displaystyle x_{1} + 2 = x_{1} + 2$
	$\displaystyle \Longrightarrow$	$\displaystyle x_{1} = x_{2}$