初等関数(elementary functions)

演習問題

1.: 任意の角 $\alpha, \beta$ に対して，次の公式が成り立つことを示そう．
(a): $\sin{(\alpha \pm \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta}$ (加法定理)
(b): $\cos{(\alpha \pm \beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta}$ (複号同順)
(c): $\displaystyle{\cos^{2}{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 + \cos{\alpha}}{2}}$ (半角の公式)
(d): $\displaystyle{\sin{\alpha}\cos{\beta} = \frac{1}{2}\left(\sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)}\right)}$ (積から和への公式)
(e): $\displaystyle{\sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2 \sin{\frac{\alpha + \beta}{2}} \cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}}$ (和から積への公式)
2.: 次の値を求めよう．
(a): $\displaystyle{\cos{\frac{5\pi}{4}}}$
(b): $\displaystyle{\sin{\frac{7\pi}{12}}}$
(c): $\displaystyle{\cos{\frac{\pi}{8}}}$
3.: 次の値を求めよう．
(a): $\displaystyle{\sin^{-1}{(\frac{-1}{2})}}$
(b): $\displaystyle{\cos^{-1}{(-1)}}$
(c): $\displaystyle{\tan^{-1}{(-1)}}$
(d): $\displaystyle{\tan^{-1}{\sqrt{3}}}$
4.: 全てのにおいて， $\displaystyle{\sin^{-1}{x} + \cos^{-1}{x} = \frac{\pi}{2}}$ が成り立つことを示そう．
5.: 次の公式を導こう．
(a): $\displaystyle{\sin^{-1}{(-x)} = - \sin^{-1}{x}}$
(b): $\displaystyle{\cos^{-1}{(-x)} = \pi - \cos^{-1}{x}}$