関数の性質(properties of functions)

演習問題

1.: $f(x) = x - \tan{x}$ は $\displaystyle{(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})}$ で狭義の単調減少関数となることを示そう．
2.: 次の不等式を証明しよう．
(a): のとき， $\displaystyle{\frac{x}{1+x} < \log{(1+x)}}$
(b): のとき， $\displaystyle{\frac{x}{1+x^{2}} < \tan^{-1}{x} < x}$
(c): $\displaystyle{e^{\pi} > \pi^{e}}$
3.: 次の関数の極値および凹凸を調べグラフの概形を求めよう．
(a): $\displaystyle{f(x) = x^{3} - 6x^2 + 9x + 3}$
(b): $\displaystyle{f(x) = x^{2}e^{-x}}$