2.4 解答

2.4

(a)

$\displaystyle{f'(x) = 3x^2 - 2x = \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = 1}$ より

$\displaystyle 3x^2 - 2x - 1 = 0$

よって

$\displaystyle (3x + 1)(x - 1) = 0$

$\displaystyle x = -\frac{1}{3}, 1$

ここで

は区間

内でなければならないので

$\displaystyle x = -\frac{1}{3}$

(b)

$\displaystyle{f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{f(1) - f(0)}{1} = \frac{\pi}{2}}$ より

$\displaystyle \sqrt{1 - x^2} = \frac{2}{\pi}$

両辺を2乗して

$\displaystyle 1 - x^2 = (\frac{2}{\pi})^2$

これを

について解くと

$\displaystyle x = \pm \sqrt{ 1 - (\frac{2}{\pi})^{2}}$

ここで

は区間

内でなければならないので

$\displaystyle x = \sqrt{ 1 - (\frac{2}{\pi})^{2}}$

(c)

$\displaystyle{f'(x) = \frac{1}{x} = \frac{f(e) - f(1)}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}}$ より

$\displaystyle x = e - 1$

ここで

は区間

内に入っているので

$\displaystyle x = e - 1$