1.7 解答

(a)どんな整数

を選んでも $2^{n} \geq N$ となる番号

が存在する．よって非有界

(b) $a_{n}$ は $\sqrt{2}$ の第

位までを表わしているので，

がどんなに大きくなっても $\sqrt{2}$ より大きくなれない．よって有界

(a) $\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$ とおくと $a_{n+1} = \sqrt{3a_{n} + 4}$ より $\alpha = \sqrt{3\alpha + 4}$ となる．そこで両辺を2乗すると $\alpha^2 = 3 \alpha + 4$ となるので， $\alpha = -1,4$ ．条件 $a_{1} = 1$ より $\alpha = 4$ と考えられる．次に $\lim_{n \to \infty}a_{n} = 4$ であることを示す．定理1．13より $\vert a_{n+1} - 4\vert \leq \lambda \vert a_{n} - 4\vert$ となる $0 < \lambda < 1$ が存在することを示せばよい．

$\displaystyle \vert a_{n+1} - 4\vert$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \vert\sqrt{3a_{n} + 4} - 4\vert = \vert\frac{3a_{n} + 4 - 4^2}{\sqrt{3a_{n} + 4} + 4}\vert$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \vert\frac{3(a_{n} - 4)}{\sqrt{3a_{n} + 4} + 4}\vert = \frac{3}{\sqrt{3a_{n} + 4} + 4} \vert a_{n} - 4\vert$

(b) $\displaystyle{a_{3} = 2^{\frac{1}{2}}, a_{4} = 2^{\frac{3}{4}}, a_{5} = 2^{\frac{5}{8}}, \ldots , a_{n} = 2^{\frac{2(n-2) - 1}{2^{n-2}}}}$ ．よって $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 1$

(a) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}(1 - \frac{1}{n^2})^n = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^{n}(1 - \frac{1}{n})^{n} = e \frac{1}{e} = 1}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{2}{n})^{n} = \lim_{m \to \infty}[(1 + \frac{1}{m})^{m}]^{2} = e^{2}$

(c) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert < 1 \leftrightarrow \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 }$ を用いる．

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert = ... ... \infty}\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^{n}/n!} = \lim_{n \to \infty}\frac{2}{n+1} = 0$

(d) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert < 1 \leftrightarrow \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 }$ を用いる．

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}{n!/n^{n}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n} = \frac{1}{e}$