ベクトル積分定理(integral theorems of vector field)

演習問題

1.: 次の線積分を求めよう．
(a): $\displaystyle{\oint_{C}(x^2 - xy^2)dx + (y^2 - 2xy) dy}$ , ただし，は点を頂点とする正方形．
(b): $\displaystyle{\oint_{C}(2xy^3 - y^2 \cos{x})dx + (1 - 2y \sin{x} + 3x^2 y^2) dy}$ , ただし，は点から点 $\displaystyle{(\frac{\pi}{2},1)}$ を放物線 $2x = \pi y^2$ に沿って進む．
(c): $\displaystyle{\oint_{\partial S} -z^2 dx + xy^2 dy + z dz}$ , ただし， $\displaystyle{S : z = \sqrt{1 - (x^2 + y^2)}}$
2.: 次の面積分を求めよう．
(a): $\displaystyle{\iint_{S}(x^2 + y^2) dS}$ , ただし， $\displaystyle{S : z^2 = 3(x^2 + y^2), 0 \leq z \leq 3}$
(b): $\displaystyle{\iint_{S}{\rm curl}{\bf F} \cdot \hat{\bf n} dS}$ , ただし， $\displaystyle{{\bf F} = (x^2 -x,-xy, 3z), S : z = 2 - \sqrt{x^2 + y^2}, z \geq 0}$
(c): $\displaystyle{\iint_{S}{\bf F} \cdot \hat{\bf n} dS}$ , ただし， $\displaystyle{{\bf F} = (x-z,x^3 + yz, -3xy^3)}$ , $\displaystyle{S : z = 4 - y^2}$ ,
(d): $\displaystyle{\iint_{S}x dydz + ydzdx + zdxdy}$ , ただし，は円柱 $\displaystyle{x^2 + y^2 = 9}$ と平面で囲まれた領域
3.: 単連結な閉曲線で囲まれた領域の面積は， $\displaystyle{\frac{1}{2}\oint xdy - ydx}$ で与えられることを示そう．
4.: 楕円 $\displaystyle{x = a\cos{\theta}, y = b\sin{\theta}}$ の面積を求めよう．
5.: をスカラー場とするとき次の式が成り立つことを示そう．
$\displaystyle{\iint_{S}f \frac{\partial g}{\partial n} dS = \iiint_{V}(f \nabla^2 g + {\rm grad}f \cdot {\rm grad}g)dV }$ ここで $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial n}, \frac{\partial g}{\partial n}}$ はそれぞれのにおける外向き法線方向の方向微分係数を表わす．