関数の定義(definition of function)

確認問題

1.

$x$の値が1のとき$f(x)$の値を求めよう．

(a) $${f(x) = \vert 2-x\vert}$$

(b) $${f(x) = 4 + 10x - x^{2}}$$

(c) $${f(x) = 1 + \cos{(x-1)}}$$

2.

次の関数の定義域と値域を求めよう．

(a) $${f(x) = x^{2} - 1}$$ (b) $${g(x) = \sqrt{1-x}}$$ (c) $${h(x) = \vert\sin{x}\vert}$$

3.

$y = \frac{1}{x}$および $y = \sqrt{x}$のグラフをもとに次の関数のグラフの概形を描こう．

(a) $${y = \frac{1}{x} + 1}$$ (b) $${y = \sqrt{1 - x}}$$

4.

次の関数 $f(x),g(x)$ について， $(f \circ g)(x)$ と $g(f(x))$ を求めよう．

(a) $${f(x) = 2x+5, \ g(x) = x^{2}}$$(b) $${f(x) = \frac{1}{x},\ g(x) = \frac{1}{x}}$$

(c) $${f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1},\ g(x) = \frac{1}{x^{2}}}$$

5.

次の関数は1対1の関数か調べ，もしそうならば，逆関数を求めよう．

(a) $${f(x) = 7x - 4}$$(b) $${f(x) = (x+1)^{3} + 2}$$(c) $${f(x) = \frac{x}{\vert x\vert}}$$

6

関数$f(x)$は， $x \in D(f)$で， $f(-x) = f(x)$を満たすとき偶関数(even function)であるといい， $f(-x) = -f(x)$を満たすとき奇関数(odd function)であるといいます．次の関数は偶関数か奇関数か調べよう．

(a) $${f(x) = x^{3}}$$(b) $${f(x) = x(x^{2} + 1)}$$

演習問題

1.

次の規則は $1$価関数か多価関数か調べよう．

(a) $${y^{2} = x, \ x > 0}$$ (b) $${y^{3} = x^2}$$

2.

次の関数の定義域を求め， $f(x)$ のグラフを描こう．

(a) $${f(x) = \sqrt{4 - x^2}}$$ (b) $${h(x) = \sqrt{\frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x}}}$$

3.

次の関数 $f(x),g(x)$ について， $(f \circ g)(x)$ と $g(f(x))$ を求めよう．

(a) $${f(x) = 2x - 1, \ g(x) = x^2 + 1}$$

(b) $${f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 1 - x, & x \leq 0\\ x^2, & x >... ...eft\{\begin{array}{cl} -x, & x < 1\\ 1 + x, & x \geq 1 \end{array} \right.}$$

4.

次の関数の逆関数を求めよう．

(a) $${f(x) = \frac{1}{x+2}, \ -2 < x}$$ (b) $${f(x) = x^2 + 4x - 2}$$

5.

次の関数は偶関数か奇関数か調べよう．

(a) $${f(x) = \frac{x^{2}}{1 - \vert x\vert}}$$ (b) $${f(x) = \sin{x}}$$

6.

次の問いに答えよう．

(a) 偶関数と偶関数の積と偶関数と奇関数の積はどうなるか．

(b) 偶関数の特徴と奇関数の特徴について述べよう．