1.1 関数(FUNCTIONS)

1.

(a) それぞれ異なる$x$に対して，求めることのできる実数$y$は $${y = \pm x}$$と2つのyが対応しているので2価関数

(b) $${y = x^{\frac{2}{3}}}$$となり，実数の値をとる3乗根は1つしかないので，1価関数

2.

(a) 定義域は関数f(x)の値が実数をとるような$x$の集合のこと. よって $D(f) = [-2,2]$

(b) 定義域は関数f(x)の値が実数をとるような$x$の集合のこと. $${D(h) = (-\infty,-\frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3}]}$$

3.

(a)

$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 1 = 2x^2 + 1$$

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x - 1) = (2x-1)^2 + 1 = 4x^2 - 4x + 2$$

(b) $f \circ g$が意味を持つには$g(x)$の値域が$f(x)$の定義域に含まれていなければならない．そこで，$g(x)$の値域を調べる．

$$g(x) = \left\{\begin{array}{cl} -x, & x < 1\\ 1 + x, & x \geq 1 \end{array} \right.$$

より$x < 1$のとき， $g(x) = - x > -1$．これが$f(x)$の定義域に含まれるので，$g(x) > 0$の場合と $g(x) \leq 0$の場合に分ける．

$x < 0$ならば，$g(x) > 0$．また， $0 \leq x < 1$ならば， $g(x) \leq 0$．よって $x < 0$のとき， $f(x) = x^2$を用い， $0 \leq x < 1$のとき， $f(x) = 1 - x$を用いる．よって

$$f(g(x)) = g(x)^2 = (-x)^2 = x^2, \ x < 0$$

$$f(g(x)) = 1 - g(x) = 1 - (-x) = 1 + x, \ 0 \leq x < 1$$

次に，$x \geq 1$のとき， $g(x) = 1 + x > 2$．これが$f(x)$の定義域に含まれるので， $f(x) = 1 - x, \ x \leq 0$を用いる．よって

$$f(g(x)) = g(x)^2 = (1 + x)^2 , \ x \geq 1$$

まとめると

$$(f \circ g)(x) = \left\{\begin{array}{cl} x^2 & x < 0\\ 1 + x & 0 \leq x < 1\\ (1 + x)^2 & x \geq 1 \end{array} \right.$$

同様に，

$$(g \circ f)(x) = \left\{\begin{array}{cl} 2 - x & x \leq 0\\ - x^2 & 0 < x < 1\\ 1 + x^2 & x \geq 1 \end{array} \right.$$

4.

(a) まず，この関数が1対1の関数であることを示す．

$$f(x_{1}) = f(x_{2}) \Longrightarrow \frac{1}{x_{1} + 2} = \frac{1}{x_{2} + 2}$$

$$\Longrightarrow x_{1} + 2 = x_{1} + 2$$

$$\Longrightarrow x_{1} = x_{2}$$

次に $f(f^{-1}(x)) = x$ を用る．

$$f(f^{-1}(x)) = f(y) = \frac{1}{y + 2} = x$$

これを $y$ について解くと $${y + 2 = \frac{1}{x}}$$．よって $${y = f^{-1}(x) = \frac{1}{x} - 2}$$ となる．

(b) この関数は1対1の関数ではない．なぜならば， $f(x) = x^2 + 4x - 2 = (x + 2)^2 - 6$より，$y$軸対称．よって，逆関数は存在しない．ただ，$f(x)$が1対1の関数となるように定義域を $\{x < -2\} \cup \{x \geq 2\}$と表わすと，これらの定義域において，

$$f(f^{-1}(x)) = f(y) = y^2 + 4y - 2 = x$$

これを $y$ について解くと $${y = -2 + \sqrt{x + 6} \ (x \geq -6) \ y = -2 - \sqrt{x + 6} \ (x \geq -6)}$$

5.

(a) $${f(x) = \frac{x^{2}}{1 - \vert x\vert}}$$より $${f(-x) = \frac{(-x)^{2}}{1 - \vert-x\vert} = \frac{x^{2}}{1 - \vert x\vert} = f(x)}$$．したがって，偶関数である．

(b) $f(x) = \sin{x}$より $f(-x) = \sin(-x) = -\sin{x}$．したがって，奇関数である．

6.

(a) $f(x)$と$g(x)$を偶関数とする．つまり， $f(-x) = f(x), g(-x) = g(x)$を満たす．このとき， $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = (fg)(x)$となるので，偶関数と偶関数の積は偶関数．

次に， $f(-x) = f(x), h(-x) = -h(x)$を満たすとする．このとき， $(fh)(-x) = f(-x)h(-x) = f(x)(-h(x)) = -f(x)h(x) = -(fh)(x)$となるので，偶関数と奇関数の積は奇関数．

(b) 偶関数は $f(-x) = f(x)$を満たす．これはグラフで考えると，$y$軸を対称にして関数の値が等しいことを表している．つまり，偶関数は$y$軸対称である．

次に，奇関数は $f(-x) = -f(x)$を満たす．これはグラフで考えると，原点を中心にして対象になっていることを表している．つまり，奇関数は原点対象である．