初等関数(elementary functions)

確認問題

1.

次の角を弧度法を用いて表そう．

(a) $30^{\circ}$ (b) $40^{\circ}$ (c) $72^{\circ}$

2.

次の直線と$x$軸とのなす角を求めよう．ただし， $0 \leq \theta < \pi$．

(a) $${y = \sqrt{3}x}$$ (b) $${y = \frac{1}{\sqrt{3}}x}$$

3.

単位円を利用して，次の不等式を解こう．ただし， $0 \leq \theta \leq 2\pi$とします．

(a) $${\cos{\theta} > \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ (b) $${\sqrt{3}\tan{\theta} > 1}$$ (c) $${1 < 2\sin{\theta} \leq \sqrt{2}}$$

4.

次の値を求めよう．

(a) $${\tan^{-1}{0}}$$ (b) $${\sin^{-1}{\frac{1}{2}}}$$ (c) $${\sin{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}}$$

演習問題

1.

任意の角 $\alpha, \beta$に対して，次の公式が成り立つことを示そう．

(a) $\sin{(\alpha \pm \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta}$ (加法定理)

(b) $\cos{(\alpha \pm \beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta}$ (複号同順)

(c) $${\cos^{2}{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 + \cos{\alpha}}{2}}$$ (半角の公式)

(d) $${\sin{\alpha}\cos{\beta} = \frac{1}{2}\left(\sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)}\right)}$$ (積から和への公式)

(e) $${\sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2 \sin{\frac{\alpha + \beta}{2}} \cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}}$$ (和から積への公式)

2.

次の値を求めよう．

(a) $${\cos{\frac{5\pi}{4}}}$$ (b) $${\sin{\frac{7\pi}{12}}}$$ (c) $${\cos{\frac{\pi}{8}}}$$

3.

次の値を求めよう．

(a) $${\sin^{-1}{(\frac{-1}{2})}}$$ (b) $${\cos^{-1}{(-1)}}$$ (c) $${\tan^{-1}{(-1)}}$$ (d) $${\tan^{-1}{\sqrt{3}}}$$

4.

全ての $x$ において， $${\sin^{-1}{x} + \cos^{-1}{x} = \frac{\pi}{2}}$$ が成り立つことを示そう．

5.

次の公式を導こう．

(a) $${\sin^{-1}{(-x)} = - \sin^{-1}{x}}$$ (b) $${\cos^{-1}{(-x)} = \pi - \cos^{-1}{x}}$$