曲面(surface)

$xy$ 平面上の有界閉領域 $\Omega$ 上で定義された関数 $z = f(x,y)$ が $C^{1}$ 級であるとき，

$$S = \{(x,y,f(x,y)):(x,y)\in\Omega\}$$

は滑らかな曲面であるということを学びました．ここで $S$ 上の点Pの位置ベクトル ${\bf r} = (x,y,z)$ が2変数 $u,v$ の関数であるとき，

$$S = \{{\bf r} : {\bf r}(u,v)= (x(u,v), y(u,v), z(u,v))\}$$

を曲面 $S$ のパラメター表示といいます．

例題 8..1  

$${z = f(x,y) = 1-x-y}$$ をパラメーター表示せよ．

解 $x=u, y=v$ とすると， $z=1-u-v$ よって

$${\bf r} = {\bf r}(u,v) = (u, v, 1-u-v) \ensuremath{\ \blacksquare}$$

図: 接平面と法線ベクトル

${\bf r} = {\bf r}(u,v)$ において $v$ を固定して $u$ だけ変化させると， ${\bf r}$ は曲面 $S$ 上で 1 つの曲線を描きます．この曲線を $u$ 曲線(u-curve) といいます．同様に$v$ 曲線(v-curve)も定義されます．また，

$${\bf r}_{u} = \frac{\partial{\bf r}}{\partial u} = \lim_{\Delta u\to 0}\frac{{\bf r}(u+\Delta u) - {\bf r}(u)}{\Delta u}$$

$${\bf r}_{v} = \frac{\partial{\bf r}}{\partial v} = \lim_{\Delta v\to 0}\frac{{\bf r}(v+\Delta v) - {\bf r}(v)}{\Delta v}$$

はそれぞれ u 曲線， v 曲線の接線ベクトルとなります．この u 曲線， v 曲線の接線ベクトルが1次独立のとき，つまり ${\bf r}_{u}\times{\bf r}_{v} \ne 0$ のとき，パラメター表示された曲面 $S=\{{\bf r} : {\bf r} = (x(u,v),y(u,v),x(u,v))\}$ は滑らかな曲面になります．

曲面 ${\bf r} = {\bf r}(u,v)$ 上の点 ${\rm P}(u,v)$ において，その点を通り， 2 つのベクトル ${\bf r}_{u},{\bf r}_{v}$ によって決定される平面を， 点 ${\rm P}$ における曲面の 接平面(tangent plane) といいます． また接平面に垂直なベクトル ${\bf r}_{u}\times{\bf r}_{v}$ を 法線ベクトル(normal vector) といいます．図8.1参照．

例題 8..2  

$${z = 1-x^{2}-2y}$$ の点 $(1,1,-2)$ における接平面を求めてみましょう．

解 $u = x, v = y$ とすると，

$${\bf r} = {\bf r}(x,y) = (x,y,1- x^2 - 2y)$$

これより接平面 $\Gamma$ の法線ベクトル $\hat{\bf n}_{\Gamma}$ を求めると

$${\bf r}_{x} = (1,0,-2x), {\bf r}_{y} = (0,1,-2)$$

$${\bf r}_{x} \times {\bf r}_{y} = \left\vert \begin{array}{lll} \... ...hat{\bf k}\\ 1 & 0 & -2x \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right \vert = (2x,2,1)$$

より $\hat{\bf n}_{\Gamma} = (2x,2,1)$ よって点 $(1,1,-2)$ における接平面の方程式は

$$((x,y,z) - (1,1,-2)) \cdot (2,2,1) = 2x + 2y + z - 2 = 0 \ensuremath{\ \blacksquare}$$

空間の点Pの位置ベクトルが， $u,v$ の関数 $P(u,v)$ で与えられ， $(u,v)$ が $uv$ 平面の領域 $\Gamma$ を動くとき，点Pは空間内に1つの曲面を描きます．このとき点Pが描く曲面の面積$S$ は2重積分の応用として $z = f(x,y)$ であたえられる曲面の面積を求めたときと同じようにして

$$S = \iint_{\Gamma} \Vert\frac{\partial {\bf r}}{\partial u} \times \frac{\partial {\bf r}}{\partial v} \Vert du dv$$

で与えられます．このとき

$$dS = \Vert\frac{\partial {\bf r}}{\partial u} \times \frac{\partial {\bf r}}{\partial v} \Vert du dv$$

を曲面 ${\bf r} = {\bf r}(u,v)$ の 面積素(area element) といいます．

例題 8..3  

曲面の方程式が $z = f(x,y)$ であたえられているとき，面積素を求めて，曲面積の公式を導いてみましょう．

解 $u = x, v = y$ とおくと，

$${\bf r} = {\bf r}(x,y) = (x,y,f(x,y))$$

よって

$${\bf r}_{x} = (1,0,f_{x}), \ {\bf r}_{y} = (0,1,f_{y} )$$

これより，面積素は

$$dS = \Vert\frac{\partial {\bf r}}{\partial x} \times \frac{\partial {\bf r}}{\partial y} \Vert dx dy$$

$$= \Vert\left \vert \begin{array}{ccc} \hat{\bf i}&\hat{\bf j}&\hat{... ... dx dy = \Vert(-f_{x},-f_{y},1)\Vert dx dy = \sqrt{f_{x}^2 + f_{y}^2 + 1} dx dy$$

次に $z = 0$ であたえられる平面を $\Omega$ とすると，

$$S = \iint_{\Omega} \sqrt{f_{x}^2 + f_{y}^2 + 1}dx dy \ensuremath{\ \blacksquare}$$

例題 8..4  

球面の位置ベクトルが ${\bf r}(u,v) = (a\sin{u}\cos{v}, a\sin{u}\sin{v}, a\cos{u}), \ 0 \leq u \leq \pi, \ 0 \leq v \leq 2\pi$ で与えられている．これを用いて球の表面積を求めてみましょう．

解

$$\frac{\partial{{\bf r}}}{\partial{u}} = (a\cos{u}\cos{v}, a \cos{u}\sin{v}, -a\sin{u})$$

$$\frac{\partial{{\bf r}}}{\partial{v}} = (-a\sin{u}\sin{v}, a\sin{u}\cos{v}, 0)$$

より

$$\frac{\partial {\bf r}}{\partial u} \times \frac{\partial {\bf r}... ...l v} = (a^{2}\sin^{2}{u}\cos{v}, a^{2}\sin^{2}{u}\sin{v}, a^{2}\sin{u}\cos{u})$$

$$\Vert\frac{\partial {\bf r}}{\partial u} \times \frac{\partial {\bf r}}{\partial v}\Vert = a^{2} \sin{u}$$

よって

$$S = \iint_{\Gamma} \Vert\frac{\partial {\bf r}}{\partial u} \time... ...l v} \Vert du dv = \int_{0}^{2\pi}a^{2}dv \int_{0}^{\pi}\sin{u}du = 4\pi a^{2}$$

となります． $\ \blacksquare$

演習問題

1.

次の曲面の接平面の方程式を求めよう．

(a) $${z = (x^2 + y^2)^2 }$$ : 点$(1,1,4)$ (b) $${x^3 + y^3 = 3xyz : \ \mbox{点} \ (1,2,\frac{3}{2})}$$

(c) $${z = \sin{(x \cos{y})} : \ \mbox{点} \ (0, \frac{\pi}{2}, 0)}$$

2.

曲面の方程式が次の形で与えられたとき，曲面の面積素を求めよう．

(a) $${{\bf r} = (u,v,u^2 + v^2)}$$ (b) $${{\bf r} = (u \cos{v}, u \sin{v}, 2v)}$$ (c) $${z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}}$$

(d) $${F(x,y,z) = 0}$$