曲面(surface)

平面上の有界閉領域 $\Omega$ 上で定義された関数が $C^{1}$ 級であるとき，

$\displaystyle S = \{(x,y,f(x,y)):(x,y)\in\Omega\}$

は滑らかな曲面であるということを学びました．ここで

上の点Pの位置ベクトル ${\bf r} = (x,y,z)$ が2変数

の関数であるとき，

$\displaystyle S = \{{\bf r} : {\bf r}(u,v)= (x(u,v), y(u,v), z(u,v))\}$

を曲面

のパラメター表示といいます．

例題 8..1

$\displaystyle{z = f(x,y) = 1-x-y}$ をパラメーター表示せよ．

解とすると，よって

$\displaystyle {\bf r} = {\bf r}(u,v) = (u, v, 1-u-v) \ensuremath{ \blacksquare}$

**図 8.1:** 接平面と法線ベクトル
$\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=5.7cm]{CALCFIG/Fig8-1-1.eps} \end{center}\end{figure}$

${\bf r} = {\bf r}(u,v)$ においてを固定してだけ変化させると， ${\bf r}$ は曲面上で 1 つの曲線を描きます．この曲線を 曲線(u-curve) といいます．同様に 曲線(v-curve)も定義されます．また，

$\displaystyle {\bf r}_{u} = \frac{\partial{\bf r}}{\partial u} = \lim_{\Delta u\to 0}\frac{{\bf r}(u+\Delta u) - {\bf r}(u)}{\Delta u}$

$\displaystyle {\bf r}_{v} = \frac{\partial{\bf r}}{\partial v} = \lim_{\Delta v\to 0}\frac{{\bf r}(v+\Delta v) - {\bf r}(v)}{\Delta v}$

はそれぞれ u 曲線， v 曲線の接線ベクトルとなります．この u 曲線， v 曲線の接線ベクトルが1次独立のとき，つまり ${\bf r}_{u}\times{\bf r}_{v} \ne 0$ のとき，パラメター表示された曲面 $S=\{{\bf r} : {\bf r} = (x(u,v),y(u,v),x(u,v))\}$ は滑らかな曲面になります．

曲面 ${\bf r} = {\bf r}(u,v)$ 上の点 ${\rm P}(u,v)$ において，その点を通り， 2 つのベクトル ${\bf r}_{u},{\bf r}_{v}$ によって決定される平面を，点 ${\rm P}$ における曲面の 接平面(tangent plane) といいます．また接平面に垂直なベクトル ${\bf r}_{u}\times{\bf r}_{v}$ を 法線ベクトル(normal vector) といいます．図8.1参照．

例題 8..2

$\displaystyle{z = 1-x^{2}-2y}$ の点

における接平面を求めてみましょう．

解とすると，

$\displaystyle {\bf r} = {\bf r}(x,y) = (x,y,1- x^2 - 2y)$

これより接平面 $\Gamma$ の法線ベクトル $\hat{\bf n}_{\Gamma}$ を求めると

$\displaystyle {\bf r}_{x} = (1,0,-2x), {\bf r}_{y} = (0,1,-2)$

$\displaystyle {\bf r}_{x} \times {\bf r}_{y} = \left\vert \begin{array}{lll} \h... ... & \hat{\bf k}\\ 1 & 0 & -2x \\ 0 & 1 & -2 \end{array}\right \vert = (2x,2,1)$

より $\hat{\bf n}_{\Gamma} = (2x,2,1)$ よって点

における接平面の方程式は

$\displaystyle ((x,y,z) - (1,1,-2)) \cdot (2,2,1) = 2x + 2y + z - 2 = 0 \ensuremath{ \blacksquare}$

空間の点Pの位置ベクトルが，の関数で与えられ，が平面の領域 $\Gamma$ を動くとき，点Pは空間内に1つの曲面を描きます．このとき点Pが描く曲面の面積は2重積分の応用としてであたえられる曲面の面積を求めたときと同じようにして

$\displaystyle S = \iint_{\Gamma} \Vert\frac{\partial {\bf r}}{\partial u} \times \frac{\partial {\bf r}}{\partial v} \Vert du dv$

で与えられます．このとき

$\displaystyle dS = \Vert\frac{\partial {\bf r}}{\partial u} \times \frac{\partial {\bf r}}{\partial v} \Vert du dv$

を曲面 ${\bf r} = {\bf r}(u,v)$ の 面積素(area element) といいます．

例題 8..3

曲面の方程式が

であたえられているとき，面積素を求めて，曲面積の公式を導いてみましょう．

解とおくと，

$\displaystyle {\bf r} = {\bf r}(x,y) = (x,y,f(x,y))$

よって

$\displaystyle {\bf r}_{x} = (1,0,f_{x}), {\bf r}_{y} = (0,1,f_{y} )$

これより，面積素は

$\displaystyle dS$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \Vert\frac{\partial {\bf r}}{\partial x} \times \frac{\partial {\bf r}}{\partial y} \Vert dx dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \Vert\left \vert \begin{array}{ccc} \hat{\bf i}&\hat{\bf j}&\hat{... ... dx dy = \Vert(-f_{x},-f_{y},1)\Vert dx dy = \sqrt{f_{x}^2 + f_{y}^2 + 1} dx dy$

次に

であたえられる平面を $\Omega$ とすると，

$\displaystyle S = \iint_{\Omega} \sqrt{f_{x}^2 + f_{y}^2 + 1}dx dy \ensuremath{ \blacksquare}$

例題 8..4

球面の位置ベクトルが ${\bf r}(u,v) = (a\sin{u}\cos{v}, a\sin{u}\sin{v}, a\cos{u}), 0 \leq u \leq \pi, 0 \leq v \leq 2\pi$ で与えられている．これを用いて球の表面積を求めてみましょう．

解

$\displaystyle \frac{\partial{{\bf r}}}{\partial{u}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (a\cos{u}\cos{v}, a \cos{u}\sin{v}, -a\sin{u})$
$\displaystyle \frac{\partial{{\bf r}}}{\partial{v}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (-a\sin{u}\sin{v}, a\sin{u}\cos{v}, 0)$

より

$\displaystyle \frac{\partial {\bf r}}{\partial u} \times \frac{\partial {\bf r}... ...l v} = (a^{2}\sin^{2}{u}\cos{v}, a^{2}\sin^{2}{u}\sin{v}, a^{2}\sin{u}\cos{u})$

$\displaystyle \Vert\frac{\partial {\bf r}}{\partial u} \times \frac{\partial {\bf r}}{\partial v}\Vert = a^{2} \sin{u}$

よって

$\displaystyle S = \iint_{\Gamma} \Vert\frac{\partial {\bf r}}{\partial u} \time... ...l v} \Vert du dv = \int_{0}^{2\pi}a^{2}dv \int_{0}^{\pi}\sin{u}du = 4\pi a^{2}$

となります． $\blacksquare$

演習問題

1.

次の曲面の接平面の方程式を求めよう．

(a) $\displaystyle{z = (x^2 + y^2)^2 }$ : 点 (b) $\displaystyle{x^3 + y^3 = 3xyz : \ \mbox{点} \ (1,2,\frac{3}{2})}$

2.

曲面の方程式が次の形で与えられたとき，曲面の面積素を求めよう．

(a) $\displaystyle{{\bf r} = (u,v,u^2 + v^2)}$ (b) $\displaystyle{{\bf r} = (u \cos{v}, u \sin{v}, 2v)}$ (c) $\displaystyle{z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

(d) $\displaystyle{F(x,y,z) = 0}$