定積分の応用(applications of definite integral)

ここでは，定積分の応用として，面積，体積，曲線の長さなどについて考えてみましょう．まずは面積から

閉区間 $[a,b]$ で常に $g(x) \leq f(x)$ のとき， $2$曲線 $y = f(x),y = g(x)$および$2$直線 $x = a,x = b$ で囲まれた部分の面積を $A$ とし定積分で表わしてみましょう． まず 区間$[a,b]$ の分割

$$\Delta : a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b$$

をとり，各小区間 $[x_{i-1},x_{i}]$ 内に任意の点 $\xi_{i}$ をとります．ここで底辺 $x_{i} - x_{i-1}$，高さ $f(\xi_{i}) - g(\xi_{i})$ の長方形を考え，そのRiemann和を作ると

$$\sum_{i=1}^{n}\underbrace{[f(\xi_{i}) - g(\xi_{i})]}_{高さ}\underbrace{(x_{i}-x_{i-1}) }_{底辺}$$

ここで分割$\Delta$ を細かくすると，このRiemann和は

$$A = \int_{a}^{b}[f(x) - g(x)]dx$$

に収束するので面積を表わします．

実際に面積を求めるときには，横に長い長方形を考えることもあります．例えば次のような場合です．

例題 3..31  

次の曲線で囲まれた図形の面積を求めてみましょう．

$$x = y^{2}, y = x-2$$

図 3.4: グラフで囲まれた面積

解 この図で縦方向の長方形を考えると $x = y^2, y = x -2$ の交点を通る直線 $x = 1$ より左側では，長方形の高さが $\sqrt{x} - (-\sqrt{x})$ となり，右側では $\sqrt{x} - (x - 2)$ となります．よって，求める面積$A$ は

$$A = \int_{0}^{1}2\sqrt{x}dx + \int_{1}^{4}[\sqrt{x} - (x - 2)] dx = \... ...\right ]_{0}^{1} + \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{1}^{4}$$

$$= \frac{4}{3} + \frac{3}{2}[4^{3/2} - 1] -\frac{1}{2}[4^2 - 1] + 2[4-1]$$

$$= \frac{4}{3} + \frac{14}{3} - \frac{15}{2} + 6 = \frac{9}{2}$$

次に，横方向の長方形を考えると，長方形の高さは求める図形内のすべての範囲で $y+2 - y^2$，幅は $\Delta y$ となり，計算が簡単になります．実際 $x = y^2, y = x -2$ の交点を求めると， $y^2 = y + 2$ より $y^2 - y - 2 = (y + 1)(y - 2) = 0$．よって $y = -1, 2$ となります．これより求める面積$A$ は

$$A = \int_{-1}^{2}(y + 2 - y^2)dy = \left[\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{2} = \frac{9}{2} \ensuremath{ \blacksquare}$$

次に体積を考えてみましょう．$x$ 軸に垂直な平面で切ったときの切り口の面積が $A(x)$ となるような空間図形を考えます．この空間図形の $a \leq x \leq b$ の部分の体積を定積分で表わしてみましょう．まず $[a,b]$ の分割

$$\Delta : a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b$$

をとり，各小区間 $[x_{i-1},x_{i}]$ から任意の点 $\xi_{i}$ をとります．この図形の $x_{i-1} \leq x \leq x_{i}$ の部分を底面積 $A(\xi_{i})$，高さ $x_{i} - x_{i-1}$ で置き換えて，その体積の和を作ると，

$$\sum_{i=1}^{n}A(\xi_{i})(x_{i}-x_{i-1})$$

ここで分割$\Delta$ を細かくすると，この和は

$$V = \int_{a}^{b}A(x)dx$$

に収束します．

回転体の体積を求めるには，断面が円盤の形となるように，回転軸に垂直な面で切り取る場合と，回転軸にそって半径の異なる筒をはめ込んでいく場合と2通りあります．式で表わすと次のようになります．

閉区間 $[a,b]$ で常に $f(x) \geq 0$ であるとき，平面図形 $0 \leq y \leq f(x), a \leq x \leq b$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を $V$ とすると，

$$V = \int_{a}^{b} \underbrace{\pi y^{2}}_{断面積} dx = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^{2} dx$$

図 3.5: 断面積

また，閉区間 $[a,b]$ で常に $f(x) \geq 0$ であるとき，平面図形 $0 \leq y \leq f(x), a \leq x \leq b$ を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を $V$ とすると，筒の表面積は $2 \pi x y$ より

$$V = \int_{a}^{b} 2\pi x y dx = \int_{a}^{b} 2\pi x f(x) dx$$

図 3.6: 表面積

そこで，この2つの方法の違いをみるために，次のような問題を考えてみましょう．

例題 3..32  

$${y = x^2, y = 0, x = 1}$$ で囲まれる図形を $y$ 軸の回りに回転したときにできる回転体の体積を求めてみましょう．

図 3.7: 回転体の体積

解 まず，回転軸 $y$ に垂直な平面で切断すると，その断面積はワッシャーの形をしています．このワッシャーの面積は $\pi - \pi x^2$ で，これに厚み$\Delta y$ をつけると，その体積は $\Delta V = \pi(1 - x^2) \Delta y$ となるので，求める体積$V$ は

$$V = \int_{0}^{1} (\pi - \pi x^2) dy = \pi - \pi \int_{0}^{1} y dy = \pi - \pi \left[\frac{y^2}{2} \right ]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2}$$

となります．次に筒を考えてみましょう．筒の高さは $y$ で表わされ，その表面積は $2 \pi x y$．よって少しの厚みを持った筒の体積は $2 \pi x y dx$ となります．よって回転体の体積$V$ は

$$V = \int_{0}^{1}2 \pi x y dx = \int_{0}^{1} 2 \pi x x^2 dx = 2 \pi \left[\frac{x^4}{4}\right ]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2} \ensuremath{ \blacksquare}$$

曲線の長さ

最後に曲線の長さを考えてみましょう．$C^1$ 級の関数 $y = f(x)$ の $a \leq x \leq b$ の部分の長さを定積分で表わしてみましょう．まず $[a,b]$ の分割

$$\Delta : a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b$$

をとり，点 $(x_{i},f(x_{i}))$ を ${\rm P}_{i}$ で表わします． ${\rm P}_{0},{\rm P}_{1},\ldots,{\rm P}_{n}$ を順に結んで折れ線 ${\rm P}_{0}{\rm P}_{1},$
${\rm P}_{1}{\rm P}_{2}, \ldots, {\rm P}_{n-1}{\rm P}_{n}$ を作ります．この折れ線の和を作ると

$$\sum_{i=1}^{n}{\rm P}_{i-1}{\rm P}_{i}$$

ここで分割$\Delta$ を細かくするとき，この和がある値 $s$ に収束するならば，この $s$ を曲線 $y = f(x)$ の $a \leq x \leq b$ の部分の 弧の長さ(arc length) と決めます．

$${\rm P}_{i-1}{\rm P}_{i} = \sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2} + (f(x_{i})-f(x_{i-1}))^{2}}$$

$$= \sqrt{1+ \left(\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}\right)^{2}}(x_{i} - x_{i-1})$$

$y = f(x)$ が $C^{1}$ 級の曲線なら，

$${\rm P}_{i-1}{\rm P}_{i} = \sqrt{1 + (f^{\prime}(\xi))^{2}}\Delta x_{i}, (x_{i-1} < \xi < x_{i})$$

よって， $a \leq x \leq b$ の部分の長さ $s$ は

$$s = \int_{a}^{b}\sqrt{1 + (f^{\prime}(x))^{2}} dx$$

で表わされます．まとめると

定理 3..17  

[曲線の長さ] $y = f(x) \in C^{1}$ 級の $a \leq x \leq b$ の部分の曲線の長さ $s$ は

$$s = \int_{a}^{b}\sqrt{1 + (f^{\prime}(x))^{2}} dx$$

で与えられる．

図 3.8: 曲線の長さ

確認問題

1.

次の曲線で囲まれる図形の面積を求めよう．

(a) $${y = x^{2} , y = x + 2}$$ (b) $${y = x^{3}, y = x^{2}}$$ (c) $${y = - \sqrt{x}, y = x - 6, y = 0}$$

(d) $${y = x^{3} - x, y = 1 - x^{2}}$$ (e) $${x+4 = y^{2}, x = 5}$$

(f) $${y = 2x, x+y = 9, y = x-1}$$

2.

次の曲線で囲まれる平面図形を $x$ 軸の回りに回転してできる回転体の体積を求めよう．

(a) $${y = x, y = 0, x = 1}$$ (b) $${y = x^{2}, y = 9}$$ (c) $${y = \sqrt{x}, y = x^{3}}$$

(d) $${y = x^{2} , y = x + 2}$$

3.

次の曲線の長さを求めよう．

(a) $${y = 2x + 3}$$ の$x = 0$から$x = 2$まで (b) $${y = x^{3/2}}$$ の$x = 0$から$x = 44$まで (c) $${x(t) = t^{2}, y(t) = 2t}$$ の$t = 0$から $t = \sqrt{3}$まで

(d) $${r = e^{\theta}}$$ の $\theta = 0$から $\theta = 4\pi$まで

演習問題

1.

次の曲線で囲まれた図形の面積を求めよう．

(a) $${x = y^{2} , x = 3 -2y^{2}}$$ (b) $${x = \cos^{3}{t}, y = \sin^{3}{t}, (0 \leq t \leq \pi)}$$ と$x$軸

2.

次の平面図形を $x$ 軸の回りに回転してできる回転体の体積を求めよう．

(a) $${x^{2}+ (y-2)^{2} \leq 1}$$

(b) $${ x = t - \sin{t}, y = 1 - \cos{t}, 0 \leq t \leq 2\pi}$$ と $x$ 軸で囲まれる部分．

3.

次の曲線の長さを求めよう．

(a) $${x^{2/3} + y^{2/3} = 1}$$ の全長 (b) $${\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1}$$ の全長 (c) $${r = 1+\cos{\theta}}$$ の全