ここでは,定積分の応用として,面積,体積,曲線の長さなどについて考えてみましょう.まずは面積から
閉区間 で常に
のとき,
曲線
および
直線
で囲まれた部分の面積を
とし定積分で表わしてみましょう.
まず 区間
の分割
実際に面積を求めるときには,横に長い長方形を考えることもあります.例えば次のような場合です.
解
この図で縦方向の長方形を考えると
の交点を通る直線
より左側では,長方形の高さが
となり,右側では
となります.よって,求める面積
は
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||
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次に,横方向の長方形を考えると,長方形の高さは求める図形内のすべての範囲で ,幅は
となり,計算が簡単になります.実際
の交点を求めると,
より
.よって
となります.これより求める面積
は
次に体積を考えてみましょう. 軸に垂直な平面で切ったときの切り口の面積が
となるような空間図形を考えます.この空間図形の
の部分の体積を定積分で表わしてみましょう.まず
の分割
回転体の体積を求めるには,断面が円盤の形となるように,回転軸に垂直な面で切り取る場合と,回転軸にそって半径の異なる筒をはめ込んでいく場合と2通りあります.式で表わすと次のようになります.
閉区間 で常に
であるとき,平面図形
を
軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を
とすると,
また,閉区間 で常に
であるとき,平面図形
を
軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を
とすると,筒の表面積は
より
そこで,この2つの方法の違いをみるために,次のような問題を考えてみましょう.
解
まず,回転軸 に垂直な平面で切断すると,その断面積はワッシャーの形をしています.このワッシャーの面積は
で,これに厚み
をつけると,その体積は
となるので,求める体積
は
曲線の長さ
最後に曲線の長さを考えてみましょう. 級の関数
の
の部分の長さを定積分で表わしてみましょう.まず
の分割
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(a)
の
から
まで
(b)
の
から
まで
(c)
の
から
まで
(d)
の
から
まで
(b)
と
軸で囲まれる部分.