Taylorの定理(Taylor's theorem)

超越関数 $f(x)$ を多項式を用いて表わすことができないでしょうか．もしそうなれば ，整関数さえ知っていれば他の関数のことを知らなくてすむのです．そんな疑問に イギリスの数学者 Brook Taylor (1685-1731) は1712年に答えてくれました．

定理 2..16  

[Taylorの定理] $f(x)$ が点 $a,b$ を含むある区間で $C^{n}$ 級であるならば，

$$f(b) = f(a) + f^{\prime}(a)(b-a) + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1} + R_{n},$$

$$R_{n} = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(b-a)^{n}, \ a < \xi < b$$

となるような $\xi$ が存在する．

証明 定数 $K$ を

$$f(b) = f(a) + f^{\prime}(a)(b-a) + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1} + \frac{(b-a)^{n}}{n!}K$$

を満たすようにとり，

$$F(x) = f(b) - f(x) - \sum_{k=1}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(b-x)^{k} - \frac{(b-x)^{n}}{n!}K$$

とおくと， $F(a) = 0, F(b) = 0$ となり， $F(x)$ はRolleの定理の条件を満たす．したがって，Rolleの定理より

$$F^{\prime}(\xi) = -f^{\prime}(\xi) - \sum_{k=2}^{n}\frac{f^{(k)}(\xi)}{(k-1)!}(b-\x... ...}^{n-1}\frac{f^{(k)}(\xi)}{(k-1)!}(b-\xi)^{k-1} + \frac{(b-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}K$$

$$= -f^{\prime}(\xi) + f^{\prime}(\xi) - \frac{f^{n}(\xi)}{(n-1)!}(b-\xi)^{n-1} + \frac{(b-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}K = 0$$

よって

$$K = f^{(n)}(\xi) \ensuremath{\ \blacksquare}$$

ここで用いられた $R_{n}$ を Lagrangeの剰余数(Lagrange's remainder) といい，

$$f(a) + \frac{f^{\prime}(a)}{1!}x + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}x^{n-1}$$

を Taylorの多項式(Taylor's polynomial) といいます．特に $a = 0$ とおいて得られる定理を Maclaurinの定理 といい， $b = x$ とおくと

$$f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + R_{n}$$

$$R_{n} = \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^{n}, \ 0 < \theta < 1$$

となります．

ここで誤差の評価は

$$\vert R_{n}\vert = \vert\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^{n}\vert \l... ...max_{\theta \in [0,1]}\vert f^{(n)}(\theta x)\vert)\frac{\vert x\vert^{n}}{n!}$$

で与えられます．

例題 2..34  

Maclaurinの定理を使って $${f(x) = e^{x}}$$ の Taylorの多項式とLagrangeの剰余数の誤差の評価を求めてみましょう．

解 $f^{(n)}(x) = e^{x}$ より $f^{(n)}(0) = 1$ よって

$$e^{x} = 1 + x+ \frac{x^{2}}{2!} + \cdots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + R_{n}$$

ここで $${R_{n} = \frac{e^{\theta x} x^{n}}{n!} \ (0 < \theta < 1)}$$ が成り立ちます．ところが，

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\vert R_{n}\vert \leq \lim_{n \rightar... ...!} \leq \vert e^{x}\vert\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\vert x\vert^{n}}{n!}$$

よって

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\vert R_{n}\vert = 0 \ensuremath{\ \blacksquare}$$

$f(x)$ は $x = 0$ を含む区間 $I$ で $C^{\infty}$ 級関数とすると，Maclaurinの定理より任意の自然数 $n$ に対して，

$$f(x) = f(x) + f^{\prime}(0)x + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + R_{n}$$

が成り立ちます．このとき，もし $R_{n} \rightarrow 0 \ (n \rightarrow \infty)$ であるならば

$$f(x) = f(x) + f^{\prime}(0)x + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + \cdots$$

と表わせます．この式を $f(x)$ の Maclaurin展開(Maclaurin expansion)，または $x = 0$ での Taylor展開(Taylor expansion) といいます．

定理 2..17  

次の級数展開が成り立つ．

$(1) \ \displaystyle{e^{x} = 1 + x+ \frac{x^{2}}{2!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!} + \cdots, \ (-\infty < x < \infty)}$

$(2) \ \displaystyle{\sin{x} = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!}+ \cdots, \ (-\infty < x < \infty)}$

$(3) \ \displaystyle{\cos{x} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots,\ (-\infty < x < \infty)}$

$(4) \ \displaystyle{\log(1+x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} + \cdots , \ (-1 < x \leq 1))}$

$(5) \ \displaystyle{(1+x)^{\alpha} = 1 + \frac{\alpha}{1!}x + \frac{\alpha(\alp... ...}x^{2} + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -n+1)}{n!}x^{n} + \cdots}$

ただし， $(-1 < x < 1)$

証明 (1)はすでに例題で行いました．

(2) $f(x) = \sin{x}$ とすると $f^{\prime}(x) = \cos{x}, f^{\prime\prime}(x) = -\sin{x}, f^{(3)}(x) = -\cos{x}, f^{(4)}(x) = \sin{x}$ より

$$f^{(2m)}(x) = (-1)^{m}\sin{x}, \ f^{2m+1}(x) = (-1)^{m} \cos{x}$$

と表わせる．よって

$$f^{(2m)}(0) = 0, \ f^{(2m+1)}(0) = (-1)^{m}$$

となる．これより $R_{n}$ を計算すると

$$R_{n} = \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^{n}$$

よって

$$\vert R_{n}\vert = \vert\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^{n}\vert \l... ...rt^{n} \leq \frac{1}{n!}\vert x\vert^{n} \rightarrow 0 \ (n \rightarrow \infty)$$

(3)，(4)，(5)の証明は演習問題にまわしますのでやってみましょう．

ここでE.G.H.Landau(1877-1938)によって用いられたちょっと便利な記号を紹介します．例えば関数 $f(x),g(x)$ の間に

$$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = l \ (l \neq \pm \infty)$$

が成り立つとき

$$f(x) = O(g(x))$$

と表わし，このOをLandauのビッグオー (Landau O)といいます．また$l =0$のとき，つまり

$$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$$

が成り立つとき

$$f(x) = o(g(x))$$

と表わし，このoをLandauのスモールオー (Landau o)といいます．ここでMacLaurinの定理をもう一度みてみましょう．関数$f$が無限回微分可能だとし，$n$次の多項式を作ってみます．すると，剰余項$R_{n}$は

$$R_{n} = \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^{n}$$

で与えられ，$f(x)$が $C^{\infty}$級より $f^{(n)}(x)$は連続となります．よって

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{R_{n} - {f^{(n)}(0)}x^{n}/{n!}}{x^n}... ...lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} - \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = 0$$

となります．ここでLandauの記号を用いると

$$R_{n} - \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = o(x^{n}) \ (x \rightarrow 0)$$

となるので，次の定理が成り立ちます．

定理 2..18  

関数$f(x)$が0を含むある区間で $C^{\infty}$級ならば

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} + o(x^{n}) \ (x \rightarrow 0)$$

が成り立つ．

例題 2..35  

Landauの記号を用いて次の極限値を求めてみましょう．

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{x} - 1}{x^{2}}$$

解

$\cos{x}$のMacLaurin展開より $${\cos{x} = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^2)}$$と表わせます． よって

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{x} - 1}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{-x^2/2 + o(x^2)}{x^2} = - \frac{1}{2} \ensuremath{\ \blacksquare}$$

確認問題

1.

次の関数のMacLaurin展開を定理2．17を用いて求めよう． (a) $${\frac{1}{1+x}}$$

(b) $${\frac{1}{1-x^2}}$$

(c) $${\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$

(d) $${\sqrt{1-x^2}}$$

演習問題

1.

次のMacLaurin展開が成り立つことを示そう．

(a) $${\cos{x} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots,\ (-\infty < x < \infty)}$$

(b) $${\log(1+x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} + \cdots , \ (-1 < x \leq 1))}$$

(c) $${(1+x)^{\alpha} = 1 + \frac{\alpha}{1!}x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2} + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -n+1)}{n!}x^{n} + \cdots}$$
ただし， $(-1 < x < 1)$

(d) $${\tan^{-1}{x} = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \cdots + \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots}$$, $(-1 < x < 1)$

2.

次の極限値をLandauの記号を用いて求めてみよう．

(a) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\log{(1+x)}}{x}}$$ (b) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x - \sin{x}}{x^3}}$$ (c) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x} - 1 - x}{x^2}}$$ (d) $${\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{x}}}$$

3.

(a) 演習問題1(d)より， $\frac{\pi}{4} = \tan^{-1}(1) = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \cdots$を得ることができる．これを用いて，プログラムを組み$\pi$を小数点以下2桁まで求めてみよう．

(b) $\frac{\pi}{4} = 4\tan^{-1}(\frac{1}{5}) - \tan^{-1}(\frac{1}{239})$と表した式をMachinの公式という．この公式を用いて$\pi$を小数点以下100桁まで求めてみよう．