2.4 関数の性質

1.

(a) $${-\frac{1}{3}}$$(b) $${\sqrt{1 - \left(\frac{2}{\pi}\right)^2}}$$(c) $e - 1$

2.

$f'(x) = 1 - \sec^{2}{x} \leq 0$で等号は$x = 0$のときだけ． 3.

(a) $${f(x) = \log{(1 + x)} - \frac{x}{1+x}}$$とおくと，$f(0) = 0$となるので$x > 0$で$f'(x) > 0$を示せばよい．

$$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2} > 0$$

(b) $${f(x) = x - \tan^{-1}{x}}$$とおくと，$f(0) = 0$となるので$x > 0$で$f'(x) > 0$を示せばよい．

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2} > 0$$

次に， $${g(x) = \tan^{-1}{x} - \frac{x}{1+x^2}}$$とおくと，$f(0) = 0$となるので$x > 0$で$f'(x) > 0$を示せばよい．

$$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2x^2}{(1+x^2)^2} > 0$$

(c) 両辺に対数をとって， $\pi > e\log{\pi}$を示す． $f(x) = x - e\log{x}$とおくと $f(e) = 0$．また$x > e$で

$$f'(x) = 1 - \frac{e}{x} = \frac{x - e}{x} > 0$$

よって $f(\pi) = \pi - e\log{\pi} > 0$

4.

(a) $x = 1$で極大値7，$x = 3$で極小値3

(b) $x = 0$で極小値0， $x = 2$で極大値 $${\frac{4}{e^2}}$$