点の運動(motion of objects)

演習問題2.2

1.

2点 $(-1,0,2),(1,4,3)$ を通る直線の方程式を求めよ．

2.

平面曲線 $${\boldsymbol{r}(t) = \sin{t}\:\boldsymbol{i} + \sin{t}\:\boldsymbol{j}}$$ を描け．

3.

$${t = \frac{\pi}{4}}$$における $${\boldsymbol{r}(t) = \cos{t}\:\boldsymbol{i} + \sin{t}\:\boldsymbol{j}}$$の接線の方程式を求めよ．

4.

$${\boldsymbol{r}(t) = \cos{t}\:\boldsymbol{i} + \sin{t}\:\boldsymbol{j} + t\:\boldsymbol{k}}$$ の $0 \leq t \leq 2\pi$ の部分の長さを求めてみましょう．.

5.

$$\boldsymbol{r}(t) = (\cos\pi t, \sin\pi t, t)$$

とする． $t = 1$のとき， ${\bf v}(t),\boldsymbol{A}(t),v,{\bf t},\boldsymbol{n}$を求めよ．

6.

$\boldsymbol{r} = 2a(\sin^{-1}{t} + t\sqrt{1- t^2})\:\boldsymbol{i} + 2at^2\:\boldsymbol{j} + 4at\:\boldsymbol{k}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし， $a$は正の任意の定数とする．

(a)

$t_{1} \leq t \leq t_{2}$における弧の長さ

(b)

接線単位ベクトル${\bf t}$

(c)

法線ベクトル $\boldsymbol{n}$と曲率$\kappa$

(d)

従法線ベクトル $\boldsymbol{B}$とねじれ率$\tau$

7.

弧長 $s$ をパラメターとして曲線 $${\boldsymbol{r}(t) = 5\cos{t}\boldsymbol{i} + 5\sin{t}\:\boldsymbol{j}}$$ を表わせ．

8.

曲線 $y = f(x)$ の曲率を求めよ．