Space curve

演習問題2.1

1.

$${\boldsymbol{F}(t) = t\cos{t} \:\boldsymbol{i} + t\sin{t} \:\boldsymbol{j} + t^2 \:\boldsymbol{k}}$$とするとき， $\boldsymbol{F}(t)$の軌跡を求めよ.

2.

$${\boldsymbol{F}(t) = t^{2}\:\boldsymbol{i} + t\:\boldsymbol{j} + t^{3}\:\boldsymbol{k}}$$とするとき， $\boldsymbol{F}^{\prime}(t)$を求めよ.

3.

$\boldsymbol{F} = 5t^2\:\boldsymbol{i} + t\:\boldsymbol{j} - t^2\:\boldsymbol{k},$   $G$$= \sin{t}\:\boldsymbol{i} - \cos{t}\:\boldsymbol{j}$とするとき，以下を求めよ．

(1)

$(\boldsymbol{F}\cdot$$G$$)'$

(2)

$(\boldsymbol{F} \times$   $G$$)'$

4.

$\boldsymbol{F}(t)$, $\vert\boldsymbol{F}(t)\vert$ が定数のとき， $\boldsymbol{F}(t)$と $\boldsymbol{F}^{\prime}(t)$ はすべての$t$で直交することを示せ．

5.

任意のベクトル関数 $\boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}(t)$に関して， $\int \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}'\;dt = \frac{1}{2}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}$を証明せよ．

6.

$\int_{2}^{3}\boldsymbol{F}\cdot\frac{d\boldsymbol{F}}{dt}\;dt$を求めよ．ただし， $\boldsymbol{F}(2) = 2\:\boldsymbol{i} -\boldsymbol{j} + 2\:\boldsymbol{k}, \boldsymbol{F}(3) = 4\:\boldsymbol{i} - 2\:\boldsymbol{j} + 3\:\boldsymbol{k}$