回転

演習問題3.6

1.

ベクトル場 $\boldsymbol{A} = 2xz^2 \boldsymbol{i} - yz\boldsymbol{j} + 3xz^3\boldsymbol{k}, \phi = x^2 yz$とする．次のものをもとめよ．

(1) $\nabla \times \boldsymbol{A}$

(2) $\nabla \times (\phi \boldsymbol{A})$

(3) $\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A})$

2.

$${{\bf V} = (x + 2y + az)\boldsymbol{i} + (bx - 3y -z)\boldsymbol{j} + (4x + cy + 2z)\boldsymbol{k}}$$が $\nabla \times {\bf V} = {\bf0}$を満足するように$a,b,c$を定めよ．

3.

$\nabla \times \boldsymbol{A} = {\bf0}, \nabla \times \boldsymbol{B} = {\bf0}$であれば， $\nabla \cdot(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = 0$であることを証明せよ．

4.

$\boldsymbol{C}$を定ベクトルとする．任意のベクトル場 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$について次の式を証明せよ．

(1) $\nabla(\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A}) = (\boldsymbol{C}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} + \boldsymbol{C} \times (\nabla \times \boldsymbol{A})$

(2) $\nabla \cdot(\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A}) = -\boldsymbol{C} \cdot(\nabla \times \boldsymbol{A})$

(3) $\nabla \times (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{C} (\nabla \cdot\boldsymbol{A}) - (\boldsymbol{C} \cdot\nabla)\boldsymbol{A}$

5.

任意のベクトル場 $\boldsymbol{A}$について次の式を証明せよ．

$$(\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} = \frac{1}{2}\nabla \vert\boldsymbol{A}\vert^2 - \boldsymbol{A} \times (\nabla \times \boldsymbol{A})$$

6.

$\rho$と$p$をスカラー場とする． $\rho \boldsymbol{F} = \nabla p$であれば， $\boldsymbol{F}\cdot(\nabla \times \boldsymbol{F}) = 0$であることを証明せよ．