F分布(F distribution)

定義 3..2  

確率密度関数 $f_{m,n}(x)$が

$$f_{m,n}(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{\gamma(\frac{m+n}{2}... ...{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^{\frac{m+n}{2}}}\ & (x > 0)\\ 0, & \end{array}\right.$$

で与えられる分布$F_{m,n}$を自由度対$(m,n)$の$F$分布という。その期待値と分散は

$$E(F_{m,n}) = \frac{m}{n-2}\ (n > 2)$$

$$V(F_{m,n}) = \frac{2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}\ (n > 4)$$

となる。

定理 3..9  

$X_{11},X_{12},\ldots,X_{1n_{1}}$がいずれも正規分布 $N(\mu_{1},\sigma_{1}^2)$に従う互いに独立な$n_{1}$個の確率変数で，その相加平均を $\overline{X}_{1}$，不偏分散を$U_{1}^2$とする．これらと独立に， $X_{21},\ldots,X_{2n_{2}}$は正規分布 $N(\mu_{2},\sigma_{2}^2)$に従う互いに独立な$n_{2}$個の確率変数を考え，その相加平均を $\overline{X}_{2}$，不偏分散を$U_{2}^2$とする．

$$\overline{X}_{1} = \frac{1}{n_{1}\sum_{i}X_{1i}},\ U_{1}^2 = \frac{1}{n_{1}-1}\sum_{i}(X_{1i} - \overline{X}_{1})^2$$

$$\overline{X}_{2} = \frac{1}{n_{2}\sum_{i}X_{2i}},\ U_{2}^2 = \frac{1}{n_{2}-1}\sum_{i}(X_{2i} - \overline{X}_{2})^2$$

このとき，

$$F = \frac{U_{1}^2/\sigma_{1}^2}{U_{2}^2/\sigma_{2}^2} = \frac{\sigma_{2}^2 U_{1}^2}{\sigma_{1}^2 U_{2}^2} \sim F(n_{1}-1, n_{2}-1)$$

例題 3..10  

$F_{n_{2}}^{n_{1}}(0.05) = F_{10}^{5}(0.05)$を求めよ．

解

$$F_{10}^{5}(0.05) = 3.3258$$

$F_{n_{2}}^{n_{1}}(1-\alpha)$を求めるには，次の公式を用いる

$$F_{n_{2}}^{n_{1}}(1-\alpha) = \frac{1}{F_{n_{1}}^{n_{2}}(\alpha)}$$

例題 3..11  

$F_{11}^{5}(1-0.05)$を求めよ．

解

$$F_{11}^{5}(1-0.05) = \frac{1}{F_{5}^{11}(0.05)} = \frac{1}{3.10} = 0.32$$