幾何分布

数理統計演習問題11

1.

(a)

$X \sim G_{e}(p)$のとき，

$$E(X) = \frac{q}{p}, V(X) = \frac{q}{p^2}$$

を示そう．ただし，$q = 1 - p$.

(b)

勝率3割のチームは平均して何試合目にはじめて勝つか求めよ．

(c)

10本のくじがあり，そのうち4本が当たりで残り6本が外れである．いま3本くじを引いて，そのうち2本が当たる確率を求めよ．

問題解答

1.

(a)

$$\eta(t) = E(t^X) = \sum_{k=0}^{\infty}t^{k}P(X=k)$$

$$= \sum_{k=0}^{\infty}t^{k}(1-p)^{k}p$$

より，両辺を$t$について微分すると，

$$\eta'(t) = \sum_{k=1}^{\infty}kt^{k-1}(1-p)^{k}p$$

ここで，$t=0$とおくと

$$\eta'(0) = E(X) = \sum_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k}p = p\sum_{k=1}^{\infty}kq^{k}$$

ちょっと，難しいが $S = \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k}$とおき， $S - qS = S(1-q) = Sp$を求めると，

$$Sp = S - qS = \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k} - \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k+1}$$

$$= \sum_{k=1}^{\infty}q^{k} = \frac{q}{1-q} = \frac{q}{p}$$

となる。これより， $S = \frac{q}{p^{2}}$となり，

$$E(X) = p \frac{q}{p^{2}} = \frac{q}{p}$$

(b) $X$をはじめて勝つ直前までの試合回数とおくと， $X \sim G_{e}(0.3)$．よってはじめて勝つまでの平均試合数は$E(X) + 1$より

$$E(X) + 1 = \frac{q}{p} + 1 = \frac{0.7}{0.3} + 1 = 3.33 .$$

(c) $X$を当たりくじの数とおくと， $X \sim H_{g}(10,4,3)$．よって3本くじを引いて，そのうち2本が当たる確率は

$$P_{r}(X = 2) = \frac{{4 \choose 2}{6 \choose 1}}{{10 \choose 3}} = \frac{3}{10}$$