ガンマ分布

数理統計演習問題12

1. あるガスステイションで1週間に売れるガソリンの量$X$キロリットルは，次の密度関数をもつ分布に従っているとする．

$$f(x) = \left\{\begin{array}{lc} ce^{-1}\{-(x-2)^2 + 2\}, & 1 < x < 3\\ ce^{-(x-2)}, & x \geq 3\\ 0, & \mbox{その他} \end{array}\right.$$

(a)

定数$c$の値を定めよ．

(b)

$2.5 \leq X \leq 3.5$となる確率を求めよ．

2. 日本人の血液型はA型 35%，B型 25%，AB型 10%，O型 30%であるといわれている．いま，4人いたとき，4人とも血液型が異なる確率を求めよ．

3.. 電話での通話時間は平均2分の指数分布に従うとする．電話ボックスにすでに話し中の人も含めて3人いたとき，10分以上待たなければならない確率を求めよ．

問題解答

I. $f(x)$が密度関数になるには，

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = 1$$

を満たす必要がある．

(a)

$$\int_{\infty}^{\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{1}f(x)dx + \int_{1}^{3}f(x)dx + \int_{3}^{\infty}f(x)dx$$

$$= 0 + \int_{1}^{3}ce^{-1}\{-(x-2)^2 + 2\} dx + \int_{3}^{\infty}ce^{-(x-2)}dx$$

$$= ce^{-1}\left[-\frac{1}{3}(x-2)^{3} + 2x \right]_{1}^{3} - \left[ce^{-(x-2)}\right]_{3}^{\infty}$$

$$= ce^{-1}(-\frac{1}{3} + 6 - (\frac{1}{3} + 2)) - ce^{-1}(0 - (-1))$$

$$=$$

2. $X_{1}$をA型の人の数，$X_{2}$をB型の人の数，$X_{3}$をAB型の人の数，$X_{1}$をO型の人の数とすると， ${\vec X} = (X_{1},X_{2}.X_{3}.X_{4}) \sim M(4, 0.35, 0.25, 0.1, 0.3)$．よって

$$P_{r}(X_{1} = 1, X_{2} = 1, X_{3} = 1, X_{4} = 1) = \frac{4!}{1! 1! 1! 1!}(0.35)(0.25)(0.1)(0.3) = 0.063 .$$

3. $X_{1}, X_{2}, X_{3}$を3人の通話時間とおくと， $X_{1} \sim E_{x}(\lambda) = \Gamma(1, 1/\lambda), X_{2} \sim E_{x}(\lambda) = \Gamma(1, 1/\lambda), X_{3} \sim E_{x}(\lambda) = \Gamma(1, 1/\lambda)$．ここで $X = X_{1} + X_{2} + X_{3}$とおくと$X$は3人の通話時間の合計を表わす．言い換えると待ち時間を表わし， $X \sim \Gamma(3, 1/\lambda)$．また $E(X_{1}) = 1/\lambda = 2$より $X \sim \Gamma(3, 2)$．よって10分以上待たなければならない確率は

$$P_{r}(X \geq 10) = 1 - P_{r}(0 \leq X \leq 10) = \int_{10}^{\infty} \frac{1}{ \Gamma(3) 2^{3}}x^2 e^{-x/2} dx$$

$$= 1 - \frac{1}{16}\int_{0}^{10}x^2 e^{-x/2}dx = 1 - [-2x^2 e^{-x/2}\mid_{0}^{10} + 4\int_{0}^{10}xe^{-x/2}dx ]$$

$$= 1 - \frac{1}{16}[-200e^{-5} + 4(-2xe^{-x/2}\mid_{0}^{10} + 2\int_{0}^{10}e^{-x/2}dx)]$$

$$= 1 - \frac{1}{16}[-200e^{-5} -80e^{-5} - 16e^{-x/2}\mid_{0}^{10}] = 1 - \frac{1}{16}[-296e^{-5} + 16] = \frac{296 e^{-5}}{16} = 0.1246$$