確率変数(Random variable)

確率変数(random variable) $x_{1},x_{2},\ldots, x_{n}$ なる個の値をとる変数に対して， $X = x_{i}$ なる確率 $p_{i}$ が与えられているとき，を確率変数という．
確率分布(probability distribution) 確率変数とそれに対応する確率 $P(X = x_{i})$ との対応関係を確率分布という．
分布関数(distribution function) 確率変数の値がある値までとる確率をで表し，確率変数の分布関数という．つまり，分布関数は $F(x) = P(X \leq x)$ で与えられる．

確率変数 $X$ のとる値が有限個または，無限個であっても自然数で番号が付けられる場合，確率変数 $X$ は離散型(discrete)であるという．また，確率変数 $X$ がある区間内の全ての実数を取り得る場合，連続型(continuous)であるという．

離散型の場合

確率変数 $X$ のとる値を $x_{1},x_{2},\ldots, x_{n}$ とし，各事象 $(X = x_{i})$ の確率を $p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}$ とするとき，

$\displaystyle P(X = x_{i}) = p_{i} (i = 1,2,\ldots, n) \sum{p_{i}} = 1, (p_{i} \geq 0)$

で表される．これより， $X$

$X$

の確率分布

$f$

は

$\begin{displaymath}\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert}\hline... ... f(x_{i} & p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n} \ \hline \end{array}\end{displaymath}$

また，確率変数

$X$

のとる値を $x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n}$ とするとき，その分布関数 $F(x_{r})$ は次のように求められる．

$\displaystyle F(x_{r}) = P(X \leq x_{r}) = p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{r} = \sum_{i=1}^{r}p_{i}$

確率分布 $f$ と分布関数 $F$ は次の性質をもつ．

$0 \leq p_{i} = f(x_{i}) \leq 1 (i = 1,2,\ldots, n)$
$F(x_{n}) = P(X \leq x_{n}) = p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n} = 1$
$P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$
$\Longrightarrow$

連続型の場合

確率変数 $X$ が連続的な値をとるとき，事象 $\{X \leq x\}$ の確率が連続関数 $F(x)$ によって,

$\displaystyle F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x}f(x) dx$

で与えられるとき， $F(x)$ を $X$ の分布関数といい， $f(x)$ を確率密度関数という．

演習問題 3..1

(1) 男児と女児の出生率が等しいと仮定して，4児を持つ家庭の確率変数 $X$ の値と確率分布 $f$ を求めよ．

(2) 1つの袋に赤玉4個と白玉6個が入っている．同時に3個の球を取り出す場合，赤玉の個数を表わす確率変数 $X$ と確率分布 $f$ を求め，そのグラフをかこう．また， $P(X = 1), P(1 \leq X \leq 3)$ を求めよう．

3. 与えられた $a,b (a < b)$ に対して，関数 $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll} k & (a < x \leq b) \\ 0 & (x \leq a, x > a) \end{array} \right. }$

が与えられている．

(a): が確率密度関数であるためには，定数はどのような値であるか．
(b): $a \leq c \leq b$ であるに対して $P(X \leq c)$ を求めよ．

4. 確率密度が

$\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 0 , x \leq 0 \\ 6x(1 - x) & 0 < x \leq 1 \\ 0 & x > 1 \end{array} \right.$

で与えられている．

(a): 分布関数を求めよ．
(b): $P(X \leq 0.7)$ , $P(0.2 < X \leq 0.8)$ を求めよ．

5. 関数

$\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{cl} e^{-x} &, x \geq 0 \\ 0 &, x \leq 0 \end{array} \right.$

が与えられている．

(a): は確率密度関数を与えることを示せ．
(b): $P(X \leq a) = 0.1$ , であるようなを求めよ．