ガンマ分布(Gamma distribution)

確率変数$X$の確率密度関数が

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\al... ...{-\frac{x}{\beta}}, & 0 < x < \infty\\ 0, & -\infty < x < 0 \end{array}\right.$$

で与えられるとき，確率変数はガンマ分布(Gamma distribution)に従うといい， $X \sim \Gamma(\alpha, \beta)$で表します．ここで，

$$\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx$$ (4.1)

で与えられます．

ガンマ関数の特徴

$$\Gamma(1) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}dx = 1$$

$$E(X) = \alpha \beta, V(X) = \alpha \beta^{2}$$

式(4.1)の両辺を $\Gamma(\alpha)$で割ると，

$$1 = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-x}dx$$

ここで，$x$を $\frac{x}{\beta}$で置き換えると，

$$1 = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}dx$$

ここで，被積分関数を$f(x)$とおくと，ガンマ関数の定義が得られる．また，この式より，ガンマ関数は確率密度関数であることも分かる．

演習問題 4..7  

1. あるガスステイションで1週間に売れるガソリンの量$X$キロリットルは，次の密度関数をもつ分布に従っているとする．

$$f(x) = \left\{\begin{array}{lc} ce^{-1}\{-(x-2)^2 + 2\}, & 1 < x < 3\\ ce^{-(x-2)}, & x \geq 3\\ 0, & \mbox{その他} \end{array}\right.$$

(a)

定数$c$の値を定めよ．

(b)

$2.5 \leq X \leq 3.5$となる確率を求めよ．

2. 日本人の血液型はA型 35%，B型 25%，AB型 10%，O型 30%であるといわれている．いま，4人いたとき，4人とも血液型が異なる確率を求めよ．

3.. 電話での通話時間は平均2分の指数分布に従うとする．電話ボックスにすでに話し中の人も含めて3人いたとき，10分以上待たなければならない確率を求めよ．