幾何分布(Geometric distribution)

繰返し独立に試行を行うとき，注目している事象が初めて起こる直前までの試行回数を $X$ とし， $p$ を注目している事象が起こる確率とすると，注目している事象が $i+1$ 回目に起こる確率は，

$\displaystyle P_{r}(X = i) = (1-p)^{i}p$

となる。このとき，確率変数 $X$ は幾何分布(Geometric distribution) $G_{e}(p)$ に従うといい，

$\displaystyle X \sim G_{e}(p)$

と表す。また，

$\displaystyle E(X) = \frac{q}{p}, V(X) = \frac{q}{p^{2}}$

で与えられる。

期待値 $E(X)$ を求める一つの方法に，母関数(generating function)を用いる方法がある。

離散型の場合

$\eta(t) = E(t^{X}) = \sum_{k=0}^{\infty}t^{k}P(X = k)$ とおくと， $\eta'(t) = E(Xt^{X-1})$ より， $t=1$ のとき， $\eta(1) = E(X)$ となる。よって，期待値は $\eta(t)$ が求まれば微分することにより求めることができる。

連続型の場合

$\phi(t) = E(e^{tX}) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}dF(x)$ とおき， $e^{tx}$ を整級数で置き換えると，

$\displaystyle \phi(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}dF(x)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sum_{k=0}^{k}\frac{(tx)^{k}}{k!}dF(x)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{0}^{k}\frac{t^{k}}{k!}\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}dF(x)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{0}^{k}\frac{t^{k}}{k!}E(X)$