正規分布(Normal distribution)

確率変数$X$の確率密度関数が

$$g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} EXP\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right], -\infty < x < \infty$$

で与えられるとき，確率変数$X$は正規分布(Normal distribution)に従うといい， $X \sim N(\mu, \sigma^2)$と表わします．

また，

$$P_{r}(0 \leq Z \leq z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{z}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx$$

の値は標準正規分布表(Standard normal distributoin table)として与えられている。

標準化

確率変数$X$の平均$E(X)$を0に，分散$V(X)$を1に直すことを標準化といいます．

標準化の方法(method of normalization)

$$Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{V(X)}}$$

とおくと

$$E(Z) = 0, V(Z) = 1$$

になります．

一様分布

確率変数$X$の確率密度関数が

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{b-a}, & a < x < b\\ 0, & {\rm otherwise} \end{array}\right.$$

で与えられるとき，確率変数$X$は一様分布(uniform distribution)に従うといい， $X \sim U(a,b)$と表わします．

例題 4..1  

電車が20分間隔で走っているとする．ランダムにホームに着いたとき，15分以上待つ確率を求めよ．

解 $X$を電車の待ち時間とすると， $X \sim U(a,b)$である．このとき，

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{20}, & 0 < x < 20\\ 0, & {\rm otherwise} \end{array}\right.$$

よって，15分以上待つ確率は，

$$P_{r}(15 \leq X \leq 20) = \int_{15}^{20}f(x)dx = \int_{15}^{20}\frac{1}{20}dx = \frac{1}{4}$$