正規行列

演習問題4-4

1. 次の行列をユニタリ行列により対角行列に変換せよ．

$$\left(\begin{array}{cc} 1&1-i\\ 1+i&2 \end{array}\right)$$

2. 次の行列を直交行列により対角行列に変換せよ．

$$\left(\begin{array}{rrr} 1&0&-1\\ 0&-1&0\\ -1&0&1 \end{array}\right)$$

3. $A = \left(\begin{array}{rr} 0&a_{1}\\ a_{2}&0 \end{array}\right)$ がユニタリ行列により対角行列に変換される条件を求めよ．

4. 次の2次形式を直交行列による変換により標準化せよ．

$$x_{1}^2 + 2x_{2}^{2} - 3x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2}$$

5. 次のエルミート行列をユニタリ行列による変換により標準化せよ．

$$x_{1}\bar{x_{1}} + (1 - i)x_{1}\bar{x_{2}} + (1 + i)x_{2}\bar{x_{1}} + 2x_{2}\bar{x_{2}}$$