行列の対角化

演習問題4-2

1. 次の行列は対角化可能か．可能ならば適当な正則行列 $P$ を求めて対角化せよ．もし不可能ならば三角化を行なえ．

(a) $\left(\begin{array}{rr} 1&2\\ 0&-1 \end{array}\right)$ (b) $\left(\begin{array}{rrr} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 0&0&1 \end{array}\right)$ (c) $\left(\begin{array}{rrr} 1&1&6\\ -1&3&6\\ 1&-1&-1 \end{array}\right)$

2. $U,W$ がベクトル空間$V$ の部分空間であるとき, $U + W$ が直和であるための必要十分条件は $U \cap W = \{\bf0\}$ であることを証明せよ．

3. $U,W$ が有限次元のとき,

$$\dim (U \oplus W) = \dim U + \dim W$$

が成り立つことを証明せよ．

4. 3次元ベクトル空間 ${\mathcal R}^{3}$ において

$$U = \{(x_{1},x_{2},x_{3}) : x_{1}+x_{2}+x_{3} = 0\}, W = \{(x_{1},x_{2},x_{3}) : x_{1} = x_{2} = x_{3} \}$$

とすると, ${\mathcal R}^{3} = U \oplus W$ であることを証明せよ．

5. 直交行列の固有値$\lambda$ の絶対値はつねに $1$ であることを証明せよ．

6. 正方行列 $U$ の列ベクトルが正規直交基底をなすとき, $U$ はユニタリ行列であることを証明せよ．