行列の変換と固有値

演習問題3-4

1. ${\mathcal R}^{2}$ の基底 $\{{\bf v}_{1} = \left(\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\right), {\bf v}_{2} = \left(\begin{array}{r} 1\\ 1 \end{array}\right) \}$ から一般の基底 $\{{\bf w}_{1} = \left(\begin{array}{r} 3\\ 1 \end{array}\right), {\bf w}_{2} = \left(\begin{array}{r} -1\\ 2 \end{array}\right) \}$ への変換行列 $P$ を求めよ．

2. $R^{n}$ の基底 $\{{\bf v}_{i}\}$ から $\{{\bf w}_{i}\}$ への変換行列 $P$ は $n$ 次の正則行列であることを示せ．

3. 次の行列の固有値と固有空間を求めよ．

(a) $\left(\begin{array}{rr} 3&-1\\ 1&1 \end{array}\right)$ (b) $\left(\begin{array}{rrr} 2&1&0\\ 0&1&-1\\ 0&2&4 \end{array}\right)$ (c) $\left(\begin{array}{rrr} 1&4&-4\\ -1&-3&2\\ 0&2&-1 \end{array}\right)$

4. $A^{2} = A$ を満たす $n$ 次の正方行列 $A$ の固有値を求めよ．

5. 行列 $A$ の固有値を $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ とすると, $A^{m}$ の固有値は $\lambda_{1}^{m}, \lambda_{2}^{m}, . . , \lambda_{n}^{m}$ であることを証明せよ．

6. $A = \left(\begin{array}{rr} 3&1\\ -1&1 \end{array}\right)$ とするとき, ケイリー・ハミルトンの定理をもちいて $A^{4},A^{-1}$ を求めよ．

7. $X$ を2次の行列とするとき, $X^{2} - 3X + 2I = 0$ を満たす $X$ をすべて求めよ．