線形写像

演習問題3-2

1. 次の写像のうち線形写像はどちらか．

$\displaystyle T_{1} : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{2},\ T_{1}... ...y}\right) = \left(\begin{array}{c} x_{3}\\ x_{1} + x_{2} \end{array}\right) .$

$\displaystyle T_{2} : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{2},\ T_{2}... ...ight) = \left(\begin{array}{c} x_{1} + 1\\ x_{2} + x_{3} \end{array}\right) .$

2. $V$ は $n$ 次元ベクトル空間, $\{{\bf v}_{1},\ldots,{\bf v}_{n}\}$ を $V$ の基底とする． $T : V \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ を $T(\alpha_{1}{\bf v}_{1} + \alpha_{2}{\bf v}_{2} + \cdots + \alpha_{n}{\bf v}_{n... ... \alpha_{1}{\bf e}_{1} + \alpha_{2}{\bf e}_{2} + \cdots + \alpha_{n}{\bf e}_{n}$ と定義すると, $T$ は線形写像になることを示せ．

3. 線形写像 $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ について, 次の条件は同値であることを証明せよ．

(a): は同型写像である．
(b): $T \circ S = 1$ を満たす線形写像 $S : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ が存在する．

4. $T : V \longrightarrow W$ が線形写像のとき, $\ker(T),Im(T)$ は $V, W$ の部分空間であることを示せ．

5. $T : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{3}$ が $T\left(\begin{array}{r} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right) = \left(\beg... ...x_{3}\\ 2x_{1} + x_{2} + 3x_{3}\\ 2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} \end{array}\right)$ のとき, 標準基底 $\{{\bf e}_{1},{\bf e}_{2},{\bf e}_{3}\}$ に関する $T$ の行列表現 $[T]$ と基底 $\{{\bf w}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right), {\bf w}_... ...\right), {\bf w}_{3} = \left(\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right)\}$ に関する行列表現 $[T]_{\bf w}$ を求めよ．
また $\dim \ker(T)$ を求めよ．

6. $T : {\mathcal R}^{2} \longrightarrow {\mathcal R}^3$ が， $T(\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$ , $T(\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$ をみたすとき， $T$ の行列表現を求めよ．