正規行列

4.1節で正方行列の対角化について考えました．ここではユニタリ行列によって対角化可能な正方行列について考えます．

まず$n$ 次の正方行列 $A$ がユニタリ行列 $U$ によって対角行列 $U^{*}AU = D$ に変換されたとします．ここで $D$ は対角行列なのであきらかに $D^{*}D = DD^{*}$ が成り立ちます．また $A = UDU^{*}$より

$$A^{*}A = (UD^{*}U^{*})(UDU^{*}) = UDD^{*}U^{*} ,$$

$$AA^{*} = (UDU^{*})(UD^{*}U^{*}) = UDD^{*}U^{*} .$$

よって $A^{*}A = AA^{*}$ となります．つまり, ユニタリ行列によって対角行列に変換される正方行列 $A$ は $AA^{*} = A^{*}A$ を満たすということです．そこでこのような行列を 正規行列(normal matrix) とよびます．

逆に, $A$ が正規行列であるとすると, 定理4.1より適当なユニタリ行列 $U$ を用いて

$$U^{-1}AU = U^{*}AU = \left(\begin{array}{rrrr} \lambda_{1}&b_{12}... ...n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_{n} \end{array}\right)$$

とできます．この上三角行列を $S$ とすると,

$$S^{*} = U^{*}A^{*}U = \left(\begin{array}{rrrr} \bar{\lambda_{1}}... ...vdots\\ \bar{b_{1n}}&\bar{b_{2n}}&\cdots&\bar{\lambda_{n}} \end{array}\right)$$

となります．また $AA^{*} = A^{*}A$より

$$S^{*}S = (U^{*}A^{*}U)(U^{*}AU) = U^{*}A^{*}AU = U^{*}AA^{*}U = (U^{*}AU)(U^{*}A^{*}U) = SS^{*}.$$

これを行列を用いて表すと

$$S^{*}S = \left(\begin{array}{rrrr} \bar{\lambda_{1}}&0&\cdots&0\\ \bar{b_... ...2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_{n} \end{array}\right)$$

$$= \left(\begin{array}{rrrr} \lambda_{1}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ 0&\... ... \bar{b_{1n}}&\bar{b_{2n}}&\cdots&\bar{\lambda_{n}} \end{array}\right) = SS^{*}$$

となります．ここで両辺の対角成分を比較してみましょう． $(1,1)$成分を比較すると

$$\lambda_{1}\bar{\lambda_{1}}+b_{12}\bar{b_{12}}+\cdots+b_{1n}\bar{b_{1n}} = \bar{\lambda_{1}}\lambda_{1}$$

となり, これより

$$b_{12} = b_{13} = \cdots = b_{1n} = 0$$

を得ます．次に $(2,2)$成分を比較し, $b_{12} = 0$ を用いると,

$$\lambda_{2}\bar{\lambda_{2}}+b_{23}\bar{b_{23}}+\cdots+b_{2n}\bar{b_{2n}} = \bar{\lambda_{2}}\lambda_{2}$$

となり, これより

$$b_{23} = b_{24} = \cdots = b_{2n} = 0$$

を得ます．以下同様にして, $b_{ij} = 0 (i < j)$ が示せます．したがって $U^{-1}AU$ は対角行列となります．まとめると次の定理を得ます．

定理 4..5  

$n$ 次の正方行列 $A$ について, 次の条件は同値である．
$(1)$ $A$ はユニタリ行列により対角化可能である．
$(2)$ $A$ は正規行列である．

これで正規行列はユニタリ行列により対角化可能であることがわかりました．正規行列とはそれ自身の共役転置行列との積が可換な行列のことなので, エルミート行列, ユニタリ行列も正規行列です．

実ベクトル空間上での内積は1章で定義しましたが, 同様なことが複素ベクトル空間上でも行なえます．

定義 4..1  

複素ベクトル空間$V$ の任意のベクトル ${\bf v}_{1}, {\bf v}_{2}$ に対して, 実数 $({\bf v}_{1}, {\bf v}_{2})$ が定まり, 次の性質をもつとき, $({\bf v}_{1}, {\bf v}_{2})$ を ${\bf v}_{1}$ と ${\bf v}_{2}$ の 内積(inner product) という．

ある複素ベクトル空間のすべてのベクトル ${\bf v}, {\bf v}_{1},{\bf v}_{2},{\bf v}_{3}$ とすべての複素数 $\alpha, \beta$ に対して,
$1.$ $(\alpha {\bf v}_{1} + \beta {\bf v}_{2},{\bf v}_{3}) = \alpha ({\bf v}_{1},{\bf v}_{3}) + \beta ({\bf v}_{2},{\bf v}_{3})$
$2.$ $({\bf v}_{1},{\bf v}_{2}) = \overline{({\bf v}_{2},{\bf v}_{1})}$
$3.$ $({\bf v},{\bf v}) \geq 0, ({\bf v},{\bf v}) = 0$ と ${\bf v} = {\bf0}$ は同値．

例題 4..4  

エルミート行列は正規行列であることを示し, 固有値を求めよう．

解 $A$ をエルミート行列とすると, $A = A^{*}$より $AA^{*} = A^{*}A$．よって $A$ は正規行列である．次に, $\lambda$ を $A$ の固有値とし, ${\bf a}$ を $\lambda$ に対する $A$ の固有ベクトルとすると定義4.2より

$$\lambda ({\bf a},{\bf a}) = (\lambda {\bf a},{\bf a}) = (A{\bf a},{\bf a}) = ({\bf a},{\bf A^{*}}{\bf a})$$

$$= ({\bf a},A{\bf a}) = ({\bf a},\lambda {\bf a}) = \bar{\lambda}({\bf a},{\bf a})$$

となり, $\lambda = \bar{\lambda}$ が得られる．よって, $\lambda$ は実数． $\blacksquare$

この例題からかわるように, $A$ がエルミート行列のとき, ユニタリ行列 $U$ で対角化された行列 $U^{-1}AU$ の対角成分は実数です．とくに $A$ が実正方行列のとき, 次の定理が成り立ちます．

定理 4..6  

$n$ 次の実正方行列 $A$ について, 次の条件は同値である．
$(1)$ $A$ は直交行列で対角化可能である．
$(2)$ $A$ は実対称行列である．

$\spadesuit$2次形式 $\spadesuit$

任意の $n$ 次の実正方行列 $A$, ベクトル ${\mathbf x},{\mathbf y} \in {\mathcal R}^{n}$ が与えられたとき,

$$A({\mathbf x},{\mathbf y}) = {\mathbf x}^{t}A{\mathbf y} = (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\left(\be... ...ght)\left(\begin{array}{r} y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n} \end{array}\right)$$

$$= \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j} = a_{11}x_{1}y_{1} + a_{12}x_{1}y_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n}y_{n}$$

を行列 $A$ に関する双1次形式(bilinear form) といいます．

また, $A$ が $n$ 次の実対称行列, ${\mathbf x} = {\mathbf y}$ のとき,

$$A({\mathbf x},{\mathbf x}) = {\mathbf x}^{t}A{\mathbf x} = (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\left(\be... ...ght)\left(\begin{array}{r} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)$$

$$= a_{11}x_{1}^{2} + a_{22}x_{2}^{2} + \cdots + a_{nn}x_{n}^{2} + 2\sum_{i<j}a_{ij}x_{i}x_{j}$$

を行列 $A$ に関する2次形式(quadratic form) といいます．

例題 4..5  

$x_{1}^2 + x_{2}^2 -2x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3} - 4x_{2}x_{3}$ を行列を用いて表そう．

解 $a_{11} = a_{22} = a_{12} = a_{21} = 1, a_{13} = a_{31} = 2, a_{23} = a_{32} = -2, a_{33} = 0$ であるから

$$(x_{1},x_{2},x_{3})\left(\begin{array}{rrr} 1&1&2\\ 1&1&-2\\ 2&... ...array}\right)\left(\begin{array}{r} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right)$$

と表せる． $\blacksquare$

つぎに変数の変換を考えてみましょう．$A$ が実対称行列ならば定理4.2より $A$ は直交行列で対角化可能です．そこで直交行列 $P$ を $P^{-1}AP$ が対角行列になるように選び, ${\mathbf x} = P{\mathbf y}$ とおくと

$${\mathbf x}^{t}A{\mathbf x} = {\mathbf y}^{t}(P^{t}AP){\mathbf y} = (y_{1},\ldots,y_{n})\left(\begin{array}{rrr} \lambda_{1}&\cdots&0... ...array}\right)\left(\begin{array}{r} y_{1}\\ \vdots\\ y_{n} \end{array}\right)$$

$$= \lambda_{1}y_{1}^{2} + \lambda_{2}y_{2}^{2} + \cdots + \lambda_{n}y_{n}^{2}$$

となります．これより次の定理を得ます．

定理 4..7  

実2次形式 ${\mathbf x}^{t}A{\mathbf x}$ は適当な直交変換 ${\mathbf x} = P{\mathbf y}$ により標準形

$${\mathbf x}^{t}A{\mathbf x} = {\mathbf y}^{t}(P^{t}AP){\mathbf y} = \lambda_{1}y_{1}^{2} + \lambda_{2}y_{2}^{2} + \cdots + \lambda_{n}y_{n}^{2}$$

にできる．ただし, $\lambda_{i} (i = 1,2,\ldots,n)$ は $A$ の固有値．

また, これより次のことが分かります．
$(1)$ $A$ の固有値がすべて正であるならば, すべての ${\mathbf x} \neq 0$ に対して, ${\mathbf x}^{t}A{\mathbf x} > 0$ である．このような2次形式を 正値2次形式(positive definite) といいます．
$(2)$ $A$ の固有値がすべて負であるならば, すべての ${\mathbf x} \neq 0$ に対して, ${\mathbf x}^{t}A{\mathbf x} < 0$ である．このような2次形式を 負値2次形式(negative definite) といいます．

例題 4..6  

実2次形式 $A({\mathbf x},{\mathbf x}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}x_{1}$ を行列を用いて表し, 正値2次形式か調べよう．また標準形を求めよう．

解 この2次形式の行列は

$$A = \left(\begin{array}{rrr} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{array}\right)$$

である． $\Phi_{A}(t) = \det(A - tI) = -(t+1)^{2}(t-5)$より, $A$ の固有値は $-1$(重複度2),$5$ であるから, この2次形式は正値ではない．また$A$ は実対称行列なので直交行列 $P$ によって対角化されるから, ${\mathbf x} = P{\mathbf y}$ とおくと標準形

$${\mathbf x}^{t}A{\mathbf x} = -y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + 5y_{3}^{2}$$

を得る． $\blacksquare$

例題 4..7  

実2次形式 $A({\mathbf x},{\mathbf x}) = x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} + 8x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} - 8x_{2}x_{3} - 6x_{3}x_{1}$ を行列を用いて表し, 標準形を求めよう．

解 この2次形式の行列は

$$A = \left(\begin{array}{rrr} 1&2&-3\\ 2&5&-4\\ -3&-4&8 \end{array}\right)$$

である． $\Phi_{A}(t) = \det(A - tI) = -t^3 + 14t^2 - 24t - 5$より, $A$ の固有値は簡単に求められない．そこで次のような固有値を求めず標準形を求める方法を考える．

もともと正則行列は基本行列の積なので, 実際に対角化を行なう方法として基本変形を使う方法があった．

$$A = \left(\begin{array}{rrr} 1&2&-3\\ 2&5&-4\\ -3&-4&8 \end{array}\right)$$

より $A$ は対称行列．そこでまず, $R_{2}$ と $R_{3}$ に $-2R_{1}+R_{2},3R_{1}+R_{3}$ を行ない, 次に $R_{3}$ に $-2R_{2} + R_{3}$ を行なうと

$$[A:I] = \left(\begin{array}{rrrrrr} \!\!1&\!\!2&\!\!-3&1&0&0\\ \!\!2&\!\... ...-3&\!\!1&0&0\\ 0&1&\!\!2&\!\!-2&1&0\\ 0&2&\!\!-1&\!\!3&0&1 \end{array}\right)$$

$$\longrightarrow \left(\begin{array}{rrrrrr} 1&2&-3&1&0&0\\ 0&1&2&-2&1&0\\ 0&0&-5&7&-2&1 \end{array}\right) = B.$$

次に, 行 $R_{2}, R_{3}$ に行なった基本操作と同じものを列 $C_{2}, C_{3}$ に行なうと

$$B = \left(\begin{array}{rrrrrr} 1&0&0&1&0&0\\ 0&1&2&-2&1&0\\ 0&0&-5&7&-2&1 \end{array}\right)$$

$$\longrightarrow \left(\begin{array}{rrrrrr} 1&0&0&1&0&0\\ 0&1&0&-2&1&0\\ 0&0&-5&7&-2&1 \end{array}\right).$$

ここで $A$ は対角行列に変形された．そこで, $P^{t} = \left(\begin{array}{rrr} 1&0&0\\ -2&1&0\\ 7&-2&1 \end{array}\right)$ とおくと,

$$P^{t}AP = \left(\begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-5 \end{array}\right)$$

となり

$${\mathbf x}^{t}A{\mathbf x} = {\mathbf y}^{t}(P^{t}AP){\mathbf y} = {\mathbf y}^{t}\left(\begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-5 \end{array}\right){\mathbf y}$$

$$= y_{1}^2 + y_{2}^2 - 5y_{3}^2 . \ensuremath{ \blacksquare}$$

$A$ が複素正方行列のときも同じようなことができます．

任意の $n$ 次の複素正方行列 $A$, ベクトル ${\mathbf x},{\mathbf y} \in { C}^{n}$ が与えられたとき,

$$A({\mathbf x},{\mathbf y}) = {\mathbf x}^{*}A{\mathbf y} = (\bar{x_{1}},\bar{x_{2}},\ldots,\ba... ...ght)\left(\begin{array}{r} y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n} \end{array}\right)$$

$$= \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}\bar{x_{i}}y_{j}$$

$$= a_{11}\bar{x_{1}}y_{1} + a_{12}\bar{x_{1}}y_{2} + \cdots + a_{nn}\bar{x_{n}}y_{n}$$

を行列 $A$ に関するエルミート形式(Hermitian form) といいます．

また, $A$ が $n$ 次のエルミート行列で ${\mathbf x} = {\mathbf y}$ のとき,

$$A({\mathbf x},{\mathbf x}) = {\mathbf x}^{*}A{\mathbf x} = (\bar{x_{1}},\bar{x_{2}},\ldots,\ba... ...ght)\left(\begin{array}{r} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)$$

$$= a_{11}\bar{x_{1}}{x_{1}} + a_{22}\bar{x_{2}}{x_{2}} + \cdots + a_{nn}\bar{x_{n}}{x_{n}} + 2\sum_{i<j}a_{ij}\bar{x_{i}}x_{j}$$

を行列 $A$ に関する複素2次形式(complex quadratic form) といいます．この場合$A$ はエルミート行列, つまり正規行列なので定理4.2より $A$ はユニタリ行列で対角化可能です．そこでユニタリ行列 $U$ を $U^{-1}AU$ が対角行列になるように選び, ${\mathbf x} = U{\mathbf y}$ とおくと

$${\mathbf x}^{*}A{\mathbf x} = {\mathbf y}^{*}(U^{*}AU){\mathbf y} = (\bar{y_{1}},\ldots,\bar{y_{n}})\left(\begin{array}{rrr} \lambda_... ...array}\right)\left(\begin{array}{r} y_{1}\\ \vdots\\ y_{n} \end{array}\right)$$

$$= \lambda_{1}\bar{y_{1}}{y_{1}} + \lambda_{2}\bar{y_{2}}{y_{2}} + \cdots + \lambda_{n}\bar{y_{n}}{y_{n}}$$

となります．これより次の定理を得ます．

定理 4..8  

複素2次形式 ${\mathbf x}^{*}A{\mathbf x}$ は変数の適当なユニタリ行列による変換 ${\mathbf x} = U{\mathbf y}$ により標準形

$${\mathbf x}^{*}A{\mathbf x} = {\mathbf y}^{*}(U^{*}AU){\mathbf y}... ..._{1}} + \lambda_{2}\bar{y_{2}}{y_{2}} + \cdots + \lambda_{n}\bar{y_{n}}{y_{n}}$$

にできる．ただし, $\lambda_{i} (i = 1,2,\ldots,n)$ は $A$ の固有値．

演習問題4-4

1. 次の行列をユニタリ行列により対角行列に変換せよ．

$$\left(\begin{array}{cc} 1&1-i\\ 1+i&2 \end{array}\right)$$

2. 次の行列を直交行列により対角行列に変換せよ．

$$\left(\begin{array}{rrr} 1&0&-1\\ 0&-1&0\\ -1&0&1 \end{array}\right)$$

3. $A = \left(\begin{array}{rr} 0&a_{1}\\ a_{2}&0 \end{array}\right)$ がユニタリ行列により対角行列に変換される条件を求めよ．

4. 次の2次形式を直交行列による変換により標準化せよ．

$$x_{1}^2 + 2x_{2}^{2} - 3x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2}$$

5. 次のエルミート行列をユニタリ行列による変換により標準化せよ．

$$x_{1}\bar{x_{1}} + (1 - i)x_{1}\bar{x_{2}} + (1 + i)x_{2}\bar{x_{1}} + 2x_{2}\bar{x_{2}}$$