演習問題8.2

1. フーリエ変換を用いて，一次元熱伝導方程式を解け．

$$u_{t} = 2 u_{xx} (0 < x < \infty, t > 0)$$

$$u(0,t) = 0, u(x,0) = \left\{\begin{array}{ll} 25x, & 0 < x < 4\\ 0, x > 4 \end{array}\right .$$

2. フーリエ変換を用いて，一次元波動方程式

$$u_{tt} = c^2 u_{xx} (-\infty < x < \infty, t > 0)$$

$$u(x,0) = f(x), u_{t}(x,0) = 0 (-\infty < x < \infty)$$

の解が $u(x,t) = \frac{1}{2}\{f(x+ct) + f(x - ct)\}$で与えられることを示せ．
3. フーリエ変換を用いて，次の境界値問題を解け．

$$u_{tt} = c^2 u_{xx} (0 < x < \infty, t > 0)$$

$$u(x,0) = u_{t}(x,0) = 0$$

$$u_{x}(0,t) = f(t)$$

4. フーリエ変換を用いて，次の境界値問題を解け．

$$\Delta_{2}u = u_{xx} + u_{yy} = 0 (-\infty < x <\infty, 0 < y < \infty)$$

$$u(x,0) = f(x)$$

$$x^2 + y^2 \longrightarrow \infty$$   のとき$$u(x,y) \longrightarrow 0.$$