演習問題2.5

1.

定数変化法を用いて次の微分方程式を解け．

(a)

$${ y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + y = \frac{e^{-x}}{x}}$$

(b)

$${ y^{\prime\prime} + 4y = \tan{2x}}$$

(c)

$${ y^{\prime\prime} - 4y^{\prime} + 4y = \frac{e^{2x}}{x}}$$

(d)

$${ y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} + 2y = \frac{1}{1+e^{-x}}}$$

(e)

$${ y^{\prime\prime\prime} + y^{\prime} = \tan{x}}$$

2.

定数変化法を用いて $${y^{\prime\prime} + y = f(x)}$$の一般解は

$$y = c_{1}\cos{x} + c_{2}\sin{x} + \int_{a}^{x}f(t)\sin{(x-t)}dt$$

で与えられることを示せ．