1.6 解答

1.6

(a) この方程式は1階の線形である．標準形に直すと

$\displaystyle y^{\prime} - \frac{\sin{x}}{\cos{x}} y = - \frac{e^{x}}{\cos{x}}$

積分因子 $\mu$ は

$\displaystyle \mu = \exp( -\int \frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx) = \exp(\log{\cos{x}}) = \cos{x}$

これを標準形にかけると

$\displaystyle \cos{x}y^{\prime} - \sin{x} y = - e^{x}$

このとき左辺は積分因子かける従属変数 $y$

の導関数なので

$\displaystyle (\cos{x} y)^{\prime} = - e^{x}$

この両辺を

で積分すると

$\displaystyle \cos{x} y = - \int e^{x} dx = - e^{x} + c$

よって一般解は

$\displaystyle y = \frac{c - e^{x}}{\cos{x}} \ \ \framebox{終}$

(b) この方程式は1階の線形である．積分因子 $\mu$ は

$\displaystyle \mu = \exp( \int 2x dx) = \exp(x^2) = e^{x^2}$

これを標準形にかけると

$\displaystyle e^{x^{2}}y^{\prime} + 2xe^{x^2}y = 2x e^{x^2}$

このとき左辺は積分因子かける従属変数 $y$

の導関数なので

$\displaystyle (e^{x^2} y)^{\prime} = 2x e^{x^2}$

この両辺を

で積分すると

$\displaystyle e^{x^2} y = \int 2x e^{x^2} dx = e^{x^2} + c$

よって一般解は

$\displaystyle y = 1 + ce^{-x^2} \ \ \framebox{終}$

$\displaystyle y^{\prime} + \frac{1}{x} y = \sin{x}$

積分因子 $\mu$ は

$\displaystyle \mu = \exp( \int \frac{1}{x}dx) = \exp(\log{x}) = x$

これを標準形にかけると

$\displaystyle xy^{\prime} + y = x \sin{x}$

このとき左辺は積分因子かける従属変数 $y$

の導関数なので

$\displaystyle (x y)^{\prime} = x \sin{x}$

この両辺を

で積分すると

$\displaystyle x y$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int x \sin{x} dx \ \ \left(\begin{array}{cc} u = x & dv = \sin{x}\\ du = dx & v = - \cos{x} \end{array}\right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle - x\cos{x} + \int \cos{x} + c = - x \cos{x} + \sin{x} + c$

よって一般解は

$\displaystyle y = \frac{- x \cos{x} + \sin{x} + c}{x} \ \ \framebox{終}$

(d) この方程式は1階の線形である．標準形に直すと

$\displaystyle y^{\prime} + \frac{1 + x}{x} y = \frac{e^{-x}\sin{2x}}{x}$

積分因子 $\mu$ は

$\displaystyle \mu = \exp( \int \frac{1 + x}{x}dx) = \exp(\int (1 + \frac{1}{x})dx) = \exp(x + \log{x}) = xe^{x}$

これを標準形にかけると

$\displaystyle xe^{x}y^{\prime} + e^{x}(1+x) y = \sin{2x}$

このとき左辺は積分因子かける従属変数 $y$

の導関数なので

$\displaystyle (xe^{x}y)^{\prime} = \sin{2x}$

この両辺を

で積分すると

$\displaystyle xe^{x}y = - \frac{\cos{2x}}{2} + c$

よって一般解は

$\displaystyle y = \frac{ \cos{2 x} + c}{2xe^{x}} \ \ \framebox{終}$

(a) この方程式は1階の線形である．積分因子 $\mu$ は

$\displaystyle \mu = \exp( \int \cos{x} dx) = \exp(\sin{x}) = e^{\sin{x}}$

これを標準形にかけると

$\displaystyle e^{\sin{x}}y^{\prime} + e^{\sin{x}}\cos{x} y = 1$

このとき左辺は積分因子かける従属変数 $y$

の導関数なので

$\displaystyle (e^{\sin{x}}y)^{\prime} = 1$

この両辺を

で積分すると

$\displaystyle e^{\sin{x}}y = x + c$

よって一般解は

$\displaystyle y = (x + c) e^{- \sin{x}}$

ここで初期値

を用いると $2 = c e^{0} = c$ より

$\displaystyle y = (x + 2) e^{- \sin{x}} \ \ \framebox{終}$

(b) この方程式は1階の線形である．標準形に直すと

$\displaystyle y^{\prime} - \frac{1}{x\log{x}} y = \frac{1}{x}$

積分因子 $\mu$ は

$\displaystyle \mu = \exp(- \int \frac{1}{x\log{x}} dx) = \exp( - \log(\log{x})) = \frac{1}{\log{x}}$

これを標準形にかけると

$\displaystyle \frac{1}{x\log{x}}y^{\prime} - \frac{1}{x(\log{x})^{2}} y = \frac{1}{x\log{x}}$

このとき左辺は積分因子かける従属変数 $y$

の導関数なので

$\displaystyle (\frac{1}{\log{x}}y)^{\prime} = \frac{1}{x\log{x}}$

この両辺を

で積分すると

$\displaystyle \frac{1}{\log{x}}y = \log(\log{x}) + c$

よって一般解は

$\displaystyle y = \log{x}(\log\log{x} + c)$

ここで初期値

を用いると $-1 = \log{e}(\log{1} + c) = c$ より

$\displaystyle y = \log{x}(\log\log{x} - 1) \ \ \framebox{終}$

$\displaystyle \mu = \exp(\int 1 dx) = e^{x}$

これを標準形にかけると

$\displaystyle e^{x}y^{\prime} + e^{x} y = e^{x} f(x)$

このとき左辺は積分因子かける従属変数 $y$

の導関数なので

$\displaystyle (e^{x} y)^{\prime} = e^{x} f(x)$

この両辺を

で積分すると

$\displaystyle e^{x} y = \left\{\begin{array}{ll} e^{x} + c_{1} & 0 \leq x < 1\\ c_{2} & x \geq 1 \end{array} \right.$

よって一般解は

$\displaystyle y = \left\{\begin{array}{ll} 1 + c_{1}e^{-x} & 0 \leq x < 1\\ c_{2}e^{-x} & x \geq 1 \end{array} \right.$

ここで初期値

を用いると $0 = 1 + c_{1}$ より $c_{1} = -1$ ．よって $0 \leq x < 1$ のとき， $y = 1 - e^{-x}$ ．また微分方程式の解は連続であると仮定できるので $y(1) = 1 - e^{-1}$ より $1 - e^{-1} = c_{2} e^{-1}$ ．よって $c_{2} = e - 1$ ．これより

$\displaystyle y = \left\{\begin{array}{ll} 1 - e^{-x} & 0 \leq x < 1\\ (e - 1)e^{-x} & x \geq 1 \end{array} \right. \ \ \ \framebox{終}$