1.7
1.
(a) 標準形に直すと
となり,これはBernoulliの方程式である.そこで両辺に
をかけて整理すると
となる.ここで
とおくと
より
これは
について線形なので,
についての標準形に直すと
となる.そこで積分因子
を求めると
となる.これを
についての標準形にかけると,左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので
となる.この両辺を
について積分すると
より
ここで
を代入すると
(b) 標準形に直すと
となり,これはBernoulliの方程式である.そこで両辺に
をかけて整理すると
となる.ここで
とおくと
より
これは
について線形なので,
についての標準形に直すと
となる.そこで積分因子
を求めると
となる.これを
についての標準形にかけると,左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので
となる.この両辺を
について積分すると
これより
となり
(c) 標準形に直すと
となり,これはBernoulliの方程式である.そこで両辺に
をかけて整理すると
となる.ここで
とおくと
より
これは
について線形なので,
についての標準形に直すと
となる.そこで積分因子
を求めると
となる.これを
についての標準形にかけると,左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので
となる.この両辺を
について積分すると
これより
となり
2.
(a) 標準形に直すと
となり,これはBernoulliの方程式である.そこで両辺に
をかけて整理すると
となる.ここで
とおくと
より
これは
について線形なので,
についての標準形に直すと
となる.そこで積分因子
を求めると
となる.これを
についての標準形にかけると,左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので
となる.この両辺を
について積分すると
これより
(b)
において,
とおくと
となる.これらを元の微分方程式に代入すると
これは
について線形なので,
についての標準形に直すと
となる.そこで積分因子
を求めると
となる.これを
についての標準形にかけると,左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので
となる.この両辺を
について積分すると
これより
となり
3.
(a) 標準形に直すと
となり,これはRiccatiの方程式である.
はこの方程式のひとつの解であるから
とおくと
.これらを標準形に代入すると
となる.整理すると
.よって
ここで
より
(b) 標準形に直すと
となり,これはRiccatiの方程式である.そこでこの方程式の解をひとつ見つける.
はこの方程式のひとつの解となるので
とおくと
.これらを標準形に代入すると
となる.整理すると
.これは
について一階線形なので標準形に書き直すと
ここで積分因子
を求めると
となる.これを
についての標準形にかけると,左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので
となる.この両辺を
について積分すると
これより
となる.よって