1.4 解答

1.4

1.

(a) $M(x,y) = x^2 + y^2$より $M_{y} = 2y$．また $N(x,y) = 2xy$より $N_{x} = 2y$．よって $M_{y} = N_{x}$となり完全微分形．ここでくくり直しをおこなうと

$$x^2 dx + (y^2 dx + 2xy dy) = 0$$

全微分を用いて書き直すと

$$d(\frac{x^3}{3}) + d(xy^{2}) = d(c)$$

よって

$$\frac{x^3}{3} + xy^{2} = c . \ \ \framebox{終}$$

(b) $M(x,y) = ye^{xy} + 2xy$より $M_{y} = e^{xy} + xye^{xy} + 2x$．また $N(x,y) = xe^{xy} + x^2$より $N_{x} = e^{xy} + xye^{xy} + 2x$．よって $M_{y} = N_{x}$となり完全微分形．ここで $(x_{0},y_{0}) = (0,0)$とおくと

$$u(x,y) = \int_{0}^{x}(ye^{\xi y} + 2\xi y)d\xi + \int_{0}^{y} 0 d\eta$$

$$= e^{\xi y} + \xi^{2}y\mid_{0}^{x} = e^{xy} + x^{2}y$$

となり，一般解は

$$e^{xy} + x^2 y = c . \ \ \framebox{終}$$

(c) $M(x,y) = 1 + x y^2$より $M_{y} = 2xy$．また $N(x,y) = x^2 y + y$より $N_{x} = 2xy$．よって $M_{y} = N_{x}$となり完全微分形．ここでくくり直しをおこなうと

$$dx + (xy^2 dx + x^2 y dy) + y dy = 0$$

全微分を用いて書き直すと

$$d(x) + d(\frac{x^2 y^2}{2}) + d(\frac{y^2}{2}) = d(c)$$

よって

$$x + \frac{x^2 y^2}{2} + \frac{y^2}{2} = c . \ \ \framebox{終}$$

(d) $M(x,y) = y^2 - x^2$より $M_{y} = 2y$．また $N(x,y) = 2xy$より $N_{x} = 2y$．よって $M_{y} = N_{x}$となり完全微分形．ここでくくり直しをおこなうと

$$- x^2 dx + (y^2 dx + 2xy dy) = 0$$

全微分を用いて書き直すと

$$d(\frac{- x^3}{3}) + d(xy^{2}) = d(c)$$

よって

$$- \frac{x^3}{3} + xy^{2} = c . \ \ \framebox{終}$$

2.

(a) $M(x,y) = x^2$より$M_{y} = 0$．また $N(x,y) = ye^{y}$より$N_{x} = 0$．よって $M_{y} = N_{x}$となり完全微分形．ここでくくり直しをおこなうと

$$x^2 dx + ye^{y} dy = 0$$

全微分を用いて書き直すと

$$d(\frac{x^3}{3}) + d(ye^{y} - e^{y}) = d(c)$$

よって

$$\frac{x^3}{3} + ye^{y} - e^{y} = c$$

ここで初期値$y(0) = 1$を用いると $0 + e - e = 0$より

$$\frac{x^3}{3} + ye^{y} - e^{y} = 0 \ \ \framebox{終}$$

別解 $M(x,y) = x^2$より$M_{y} = 0$．また $N(x,y) = ye^{y}$より$N_{x} = 0$．よって $M_{y} = N_{x}$となり完全微分形．ここで $(x_{0},y_{0}) = (0,0)$を用いると

$$u(x,y) = \int_{0}^{x}\xi^{2}d\xi + \int_{0}^{y} \eta e^{\eta} d\eta$$

$$= \frac{\xi^{3}}{3}\mid_{0}^{x} + (\eta e^{\eta} - e^{\eta})\mid_{0}^{y}$$

$$= \frac{x^3}{3} + y e^{y} - e^{y}$$

となり，一般解は

$$\frac{x^3}{3} + ye^{y} - e^{y} = c$$

ここで初期値$y(0) = 1$を用いると $0 + e - e = 0$より

$$\frac{x^3}{3} + ye^{y} - e^{y} = 0 \ \ \framebox{終}$$

(b) $M(x,y) = e^{x}y + \sin{y}$より $M_{y} = e^{x} + \cos{y}$．また $N(x,y) = e^{x} + x \cos{y}$より $N_{x} = e^{x} + \cos{y}$．よって $M_{y} = N_{x}$となり完全微分形．ここで $(x_{0},y_{0}) = (0,0)$を用いると

$$u(x,y) = \int_{0}^{x}(e^{\xi}y + \sin{y})d\xi + \int_{0}^{y} 0 d\eta$$

$$= e^{x}y + x \sin{y}$$

となり，一般解は

$$e^{x}y + x \sin{y} = c$$

ここで初期値$y(0) = 1$を用いると$1 = c$より

$$e^{x}y + x \sin{y} = 1 \ \ \framebox{終}$$

(c) $M(x,y) = \cos{x} \sin{x} - xy^2$より $M_{y} = - 2xy$．また $N(x,y) = - y(x^2 - 1)$より $N_{x} = - 2xy$．よって $M_{y} = N_{x}$となり完全微分形．ここでくくり直しを行なうと

$$\cos{x} \sin{x} dx + (- xy^2 dx - yx^2 dy) + y dy = 0$$

全微分を用いて書き直すと

$$d(\frac{\sin^{2}{x}}{2}) + d(- \frac{x^2 y^2}{2}) + d(\frac{y^2}{2}) = d(c)$$

よって，一般解は

$$\frac{\sin^{2}{x}}{2} - \frac{x^2 y^2}{2} + \frac{y^2}{2} = c$$

ここで初期値$y(0) = 2$を用いると $0 - 0 + 2 = c$より

$$\sin^{2}{x} - x^2 y^2 + y^2 = 4 \ \ \framebox{終}$$