1.4 解答

(a)

より $M_{y} = 2y$ ．また $N(x,y) = 2xy$

より $N_{x} = 2y$ ．よって $M_{y} = N_{x}$ となり完全微分形．ここでくくり直しをおこなうと

$\displaystyle x^2 dx + (y^2 dx + 2xy dy) = 0$

$\displaystyle d(\frac{x^3}{3}) + d(xy^{2}) = d(c)$

$\displaystyle \frac{x^3}{3} + xy^{2} = c . \ \ \framebox{終}$

(b) $M(x,y) = ye^{xy} + 2xy$ より $M_{y} = e^{xy} + xye^{xy} + 2x$ ．また $N(x,y) = xe^{xy} + x^2$ より $N_{x} = e^{xy} + xye^{xy} + 2x$ ．よって $M_{y} = N_{x}$ となり完全微分形．ここで $(x_{0},y_{0}) = (0,0)$ とおくと

$\displaystyle u(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{x}(ye^{\xi y} + 2\xi y)d\xi + \int_{0}^{y} 0 d\eta$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{\xi y} + \xi^{2}y\mid_{0}^{x} = e^{xy} + x^{2}y$

$\displaystyle e^{xy} + x^2 y = c . \ \ \framebox{終}$

(c)

より $M_{y} = 2xy$ ．また $N(x,y) = x^2 y + y$

より $N_{x} = 2xy$ ．よって $M_{y} = N_{x}$ となり完全微分形．ここでくくり直しをおこなうと

$\displaystyle dx + (xy^2 dx + x^2 y dy) + y dy = 0$

$\displaystyle d(x) + d(\frac{x^2 y^2}{2}) + d(\frac{y^2}{2}) = d(c)$

$\displaystyle x + \frac{x^2 y^2}{2} + \frac{y^2}{2} = c . \ \ \framebox{終}$

(d)

より $M_{y} = 2y$ ．また $N(x,y) = 2xy$

より $N_{x} = 2y$ ．よって $M_{y} = N_{x}$ となり完全微分形．ここでくくり直しをおこなうと

$\displaystyle - x^2 dx + (y^2 dx + 2xy dy) = 0$

$\displaystyle d(\frac{- x^3}{3}) + d(xy^{2}) = d(c)$

$\displaystyle - \frac{x^3}{3} + xy^{2} = c . \ \ \framebox{終}$

(a)

より $M_{y} = 0$ ．また $N(x,y) = ye^{y}$ より $N_{x} = 0$ ．よって $M_{y} = N_{x}$ となり完全微分形．ここでくくり直しをおこなうと

$\displaystyle x^2 dx + ye^{y} dy = 0$

$\displaystyle d(\frac{x^3}{3}) + d(ye^{y} - e^{y}) = d(c)$

$\displaystyle \frac{x^3}{3} + ye^{y} - e^{y} = c$

$\displaystyle \frac{x^3}{3} + ye^{y} - e^{y} = 0 \ \ \framebox{終}$

別解

より $M_{y} = 0$ ．また $N(x,y) = ye^{y}$ より $N_{x} = 0$ ．よって $M_{y} = N_{x}$ となり完全微分形．ここで $(x_{0},y_{0}) = (0,0)$ を用いると

$\displaystyle u(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{x}\xi^{2}d\xi + \int_{0}^{y} \eta e^{\eta} d\eta$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\xi^{3}}{3}\mid_{0}^{x} + (\eta e^{\eta} - e^{\eta})\mid_{0}^{y}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{x^3}{3} + y e^{y} - e^{y}$

$\displaystyle \frac{x^3}{3} + ye^{y} - e^{y} = c$

$\displaystyle \frac{x^3}{3} + ye^{y} - e^{y} = 0 \ \ \framebox{終}$

(b) $M(x,y) = e^{x}y + \sin{y}$ より $M_{y} = e^{x} + \cos{y}$ ．また $N(x,y) = e^{x} + x \cos{y}$ より $N_{x} = e^{x} + \cos{y}$ ．よって $M_{y} = N_{x}$ となり完全微分形．ここで $(x_{0},y_{0}) = (0,0)$ を用いると

$\displaystyle u(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{x}(e^{\xi}y + \sin{y})d\xi + \int_{0}^{y} 0 d\eta$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{x}y + x \sin{y}$