7.3.2
1.
(a) まず弾性弦の垂直方向の変位を
とすると,
は一次元波動方程式
を満たす.次に,初期条件は
と表わせる.また両端が固定されているので,境界条件は
となる.ここで変数分離法を用いる.
とおき,一次元波動方程式に代入すると
これよりただちに次の微分方程式を得る.
ここで
の境界条件を用いると,すべての
に対して
となる.これは
が0でないならば,
を意味する.よってこれよりSturm-Liouville問題
を得る.すでに学んだように,この問題は固有値
,固有関数
をもっている.また,固有値
のとき,
の一般解は
ここで
と
の積
は一次元波動方程式をみたし,さらに境界条件を満たしている.よって重ね合わせの原理より
ここで初期条件
より
これより
.次に
より
これより
.よって
(b) まず弾性弦の垂直方向の変位を
とすると,
は一次元波動方程式
を満たす.次に,初期条件は初速度1m/secより
と表わせる.また両端が固定されているので,境界条件は
となる.ここで変数分離法を用いる.
とおき,一次元波動方程式に代入すると
これよりただちに次の微分方程式を得る.
ここで
の境界条件を用いると,すべての
に対して
となる.これは
が0でないならば,
を意味する.よってこれよりSturm-Liouville問題
を得る.すでに学んだように,この問題は固有値
,固有関数
をもっている.また,固有値
のとき,
の一般解は
ここで
と
の積
は一次元波動方程式をみたし,さらに境界条件を満たしている.よって重ね合わせの原理より
ここで初期条件
より
これより
.次に
より
ここで
とおくと
よって
2.
において,
とおくと
より
ここで
を
の解とすると
.
よって
とおくと
となる.これを
について積分すると
次に
について積分すると
ここで初期条件を用いると
これより
を求めると,
よって
これより
3.
ここで
より
4.
(a)
を仮定し,これを2次元波動方程式に代入すると
左辺は
と独立で,右辺は
と独立なので,両辺とも定数となり,この定数を
とおくと
これより
となり,ここでも左辺と右辺は定数となるのでこの定数を
とおくと,次の3つの微分方程式を得る.
ただし,
.ここで境界条件
を用いると,Sturm-Liouville問題
が得られる.この境界値問題の固有値と固有関数はそれぞれ
で与えられる.この
に対して,
は
ここで初期条件
より
となるので
,よって
こうして,境界条件と初期条件を満たす解の列
が得られる.これらを重ね合わせて
が得られる.ここで初期条件
より
よって
.これより
(b)
を仮定し,これを2次元波動方程式に代入すると
左辺は
と独立で,右辺は
と独立なので,両辺とも定数となり,この定数を
とおくと
これより
となり,ここでも左辺と右辺は定数となるのでこの定数を
とおくと,次の3つの微分方程式を得る.
ただし,
.ここで境界条件
を用いると,Sturm-Liouville問題
が得られる.この境界値問題の固有値と固有関数はそれぞれ
で与えられる.この
に対して,
は
ここで初期条件
より
となるので
,よって
こうして,境界条件と初期条件を満たす解の列
が得られる.これらを重ね合わせて
が得られる.ここで初期条件
より
ここで
とおくと
よって
よって