7.3.1
1.
変数分離法を用いる.
とおき,Laplace方程式に代入すると
これよりただちに次の微分方程式を得る.
ここで
の境界条件を用いると,すべての
に対して
となる.これは
が0でないならば,
を意味する.よってこれよりSturm-Liouville問題
を得る.すでに学んだように,この問題は固有値
,固有関数
を持っている.さらに,固有値が
のとき,
の一般解は
で与えられる.
と
の積
はLaplace方程式を満たし,さらに境界条件を満たしている.よって重ね合わせの原理より
ここで初期条件
より,
よって
.最後に境界条件
より
この条件が満たされるためには,この級数が
に収束するように
を選ばなければならない.ところがこれは皆さんがよく知っている関数
の
でのフーリエ正弦級数展開である.よって
で与えられる.よって
ただし,
.
2.
(a) 変数分離法を用いる.
とおき,Laplace方程式に代入すると
これよりただちに次の微分方程式を得る.
ここで
の境界条件を用いると,すべての
に対して
となる.これは
が0でないならば,
を意味する.よってこれよりSturm-Liouville問題
を得る.すでに学んだように,この問題は固有値
,固有関数
を持っている.さらに,固有値が
のとき,
の一般解は
で与えられる.
と
の積
はLaplace方程式を満たし,さらに境界条件を満たしている.よって重ね合わせの原理より
ここで
が
について項別微分可能であるとすると,初期条件
より,
よって
.最後に境界条件
より
この条件が満たされるためには,この級数が
に収束するように
を選ばなければならない.ところがこれは関数
の
でのフーリエ正弦級数展開である.よって
で与えられる.よって
ただし,
.
(b) 変数分離法を用いる.
とおき,Laplace方程式に代入すると
これよりただちに次の微分方程式を得る.
ここで
の境界条件を用いると,すべての
に対して
となる.これは
が0でないならば,
を意味する.よってこれよりSturm-Liouville問題
を得る.すでに学んだように,この問題は固有値
,固有関数
を持っている.さらに,固有値が
のとき,
の一般解は
で与えられる.
と
の積
はLaplace方程式を満たし,さらに境界条件を満たしている.よって重ね合わせの原理より
ここで境界条件
より
よって
これより
次に初期条件
より,
この条件が満たされるためには,この級数が
に収束するように
を選ばなければならない.ところがこれは関数
の
でのフーリエ正弦級数展開である.よって
で与えられる.
よって
ただし,
.
3. 変数分離法を用いる.
とおき,Laplace方程式に代入すると
これよりただちに次の微分方程式を得る.
ここで
の境界条件を用いると,すべての
に対して
となる.これは
が0でないならば,
を意味する.よってこれより
を得る.これもSturm-Liouville問題である.
のとき
より
.ここで境界値
を用いると
より
.
のとき,
とおくと,
よって
.ここで境界値
を用いると
よって固有値は
また固有関数は
のとき,
とおくと,
よって
.ここで境界値
を用いると
よって
.これより
固有値
,固有関数
を得る.
また固有関数は
より
.
この問題は固有値
,固有関数
を持っている.さらに,固有値が
のとき,
の一般解は
で与えられる.
と
の積
はLaplace方程式を満たし,さらに境界条件を満たしている.よって重ね合わせの原理より
ここで境界条件
より
よって
これより
次に初期条件
より,
この条件が満たされるためには,この級数が
に収束するように
を選ばなければならない.ところがこれは関数
の
でのフーリエ正弦級数展開である.よって
で与えられる.
よって
ただし,
.