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7.2 解答

7.2

1.

(a) $\xi = x, \eta = 2x - y$とおくと $u(x,y) = U(\xi,\eta)$より

$\displaystyle u_{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U_{\xi}\xi_{x} + U_{\eta}\eta_{x} = U_{\xi} + 2U_{\eta}$  
$\displaystyle u_{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U_{\xi}\xi_{y} + U_{\eta}\eta_{y} = -U_{\eta}$  

よって

$\displaystyle u_{x} + 2u_{y} - u = U_{\xi} - U = 0. $

これは1階の線形微分方程式なので積分因子$\mu $を求めると

$\displaystyle \mu = e^{\int {-1}d\xi} = e^{-\xi} $

これより

$\displaystyle e^{-\xi}(U_{\xi} - U) = 0. $

書き直すと

$\displaystyle \frac{\partial(e^{-\xi} U)}{\partial \xi} = 0 $

よって

$\displaystyle e^{-\xi}U = \int 0d\xi = \phi(\eta) $

これより

$\displaystyle u(x,y) = U(\xi,\eta) = e^{\xi}\phi(\eta) = e^{x}\phi(2x-y) \ \ \framebox{終}$

(b) $\xi = x, \eta = x - y$とおくと $u(x,y) = U(\xi,\eta)$より

$\displaystyle u_{x} + u_{y} = U_{\xi} = 0. $

$\displaystyle U = \int 0d\xi = \phi(\eta). $

これより

$\displaystyle u(x,y) = U(\xi,\eta) =\phi(\eta) = \phi(x-y). \ \ \framebox{終}$

(c) $\xi = x, \eta = x - y$とおくと $u(x,y) = U(\xi,\eta)$より

$\displaystyle u_{x} + u_{y} = U_{\xi} = \xi U + (\xi - \eta)U. $

書き直すと

$\displaystyle U_{\xi} - (2\xi - \eta)U = 0. $

これは1階の線形微分方程式なので積分因子$\mu $を求めると

$\displaystyle \mu = e^{\int {- (2\xi - \eta)}d\xi} = e^{-\xi^2 + \xi \eta} $

これより

$\displaystyle e^{-\xi^2 + \xi \eta}(U_{\xi} - (2\xi - \eta)U) = 0. $

書き直すと

$\displaystyle \frac{\partial(e^{-\xi^2 + \xi \eta} U)}{\partial \xi} = 0 $

よって

$\displaystyle e^{-\xi^2 + \xi \eta}U = \int 0d\xi = \phi(\eta) $

これより

$\displaystyle u(x,y) = U(\xi,\eta) = e^{\xi^2 - \xi \eta}\phi(\eta) = e^{x^2 - x(x-y)}\phi(x-y) = e^{xy}\phi(x-y). \ \ \framebox{終}$

(d) $\xi = x, \eta = -x - y$とおくと $u(x,y) = U(\xi,\eta)$より

$\displaystyle u_{x} - u_{y} - u = U_{\xi} - U = 2\xi + (-\xi - \eta). $

これは1階の線形微分方程式なので積分因子$\mu $を求めると

$\displaystyle \mu = e^{\int {-1}d\xi} = e^{-\xi} $

これより

$\displaystyle e^{-\xi}(U_{\xi} - U) = e^{-\xi}(\xi - \eta). $

書き直すと

$\displaystyle \frac{\partial(e^{-\xi} U)}{\partial \xi} = e^{-\xi}(\xi - \eta). $

よって

$\displaystyle e^{-\xi}U = \int e^{-\xi}(\xi - \eta) d\xi = -\xi e^{-\xi} + e^{-\xi} + e^{-\xi}\eta + \phi(\eta) $

これより
$\displaystyle u(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U(\xi,\eta) = -\xi + 1 + \eta + e^{\xi}\phi(\eta)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -x + 1 - x - y + e^{x}\phi(-x-y) = -2x -y + 1 + e^{x}\phi(-x-y) \ \ \framebox{終}$  

2.

(a) $u(x,y) = ce^{ax}e^{by}$とおくと

$\displaystyle u_{x} + 2u_{y} - u = cae^{ax}e^{by} + 2cbe^{ax}e^{by} - ce^{ax}e^{by} = ce^{ax}e^{by}(a + 2b - 1) = 0$

よって$a = 1 -2b$とおくと，どんな$b$に対しても $\displaystyle{e^{(1 - 2b)x}e^{by} = e^{x}e^{(-2x+y)b}}$ は解になるので，任意の関数 $\displaystyle{e^{x}\phi(-2x+y)}$ をもちいて表わすと

$\displaystyle u(x,y) = ce^{(1 - 2b)x}e^{by} = ce^{x}e^{(-2x+y)b} = e^{x}\phi(-2x+y) \ \ \framebox{終}$

(b) $u(x,y) = ce^{ax}e^{by}$とおくと

$\displaystyle u_{xx} + 2u_{yy} + u_{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ca^2e^{ax}e^{by} - cb^2e^{ax}e^{by} + cbe^{ax}e^{by}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle ce^{ax}e^{by}(a^2 - b^2 + b) = 0$  

よって $a = \pm \sqrt{b^2 - b}$． $a = \sqrt{b^2 - b}$とおくと，どんな$b$に対しても $\displaystyle{e^{\sqrt{b^2 -b}x + by}}$ は解．また
$\displaystyle{a = -\sqrt{b^2 -b}}$ とおくと，どんな$b$に対しても $\displaystyle{e^{-\sqrt{b^2 -b}x + by}}$ は解である．解の1次結合はまた解なので任意の関数 $g,h$ を用いて

$\displaystyle u(x,y) = g(\sqrt{b^2 -b}x + by) + h(-\sqrt{b^2 -b}x + by) \ \ \framebox{終} $

(c) $u(x,y) = ce^{ax}e^{by}$とおくと

$\displaystyle u_{xy} + u_{x} + u_{yy}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle cabe^{ax}e^{by} + cae^{ax}e^{by} + cb^2e^{ax}e^{by}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle ce^{ax}e^{by}(ab + a + b^2) = 0$  

よって $\displaystyle{a = \frac{-b^2}{b+1}}$ と表わせるので

$\displaystyle u(x,y) = ce^{ \frac{-b^2}{b+1}x + by}. \ \ \framebox{終}$

(d) $u(x,y) = ce^{ax}e^{by}$とおくと

$\displaystyle u_{x} + u_{y} + u$ $\displaystyle =$ $\displaystyle cae^{ax}e^{by} + cbe^{ax}e^{by} + ce^{ax}e^{by}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle ce^{ax}e^{by}(a + b + 1) = 0$  

よって$a = -1-b$と表わせるので

$\displaystyle u(x,y) = ce^{ -(1+b)x + by} = ce^{-x}e^{(-x+y)b} = e^{-x}\phi(-x+y). \ \ \framebox{終} $

3.

(a) $v = x+ my, \ w = x + ny$とおくと $u(x,y) = U(v,w)$より

$\displaystyle u_{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U_{v}v_{x} + U_{w}w_{x} = U_{v} + U_{w}$  
$\displaystyle u_{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U_{v}v_{y} + U_{w}w_{y} = mU_{v} + nU_{w}$  
$\displaystyle u_{xx}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U_{vv}v_{x} + U_{wv}v_{x} + U_{vw}w_{x} + U_{ww}w_{x} = U_{vv} + 2U_{vw} + U_{ww}$  
$\displaystyle u_{xy}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U_{vv}v_{y} + U_{wv}v_{y} + U_{vw}w_{y} + U_{ww}w_{y} = mU_{v} + (m+n)U_{vw} + nU_{ww}$  
$\displaystyle u_{yy}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle mU_{v}v_{y} + nU_{wv}v_{y} + mU_{vw}w_{y} + nU_{ww}w_{y} = m^2 U_{vv} + 2mn U_{vw} + n^2 U_{ww}$  

これより

\begin{displaymath}\begin{array}{lll} &u_{xx} &= U_{vv} + 2U_{vw} + U_{ww}\\ -5... ..._{vv} +(2 -5(m+n) + 2mn)U_{vw} + (1-5n +n^2)U_{ww} \end{array}\end{displaymath}

ここで$m,n$を $1 - 5t + t^2 = 0$の解とすると

$\displaystyle t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} $

よって $m = (5 + \sqrt{21})/2, \ n = (5 - \sqrt{21})/2$とおくと

$\displaystyle (2 -5(m+n) + 2mn)U_{vw} = -21U_{vw} = 0 $

となる．これより $U_{vw} = 0$となるので$w$について積分すると

$\displaystyle U_{v} = \int 0 dw = c(v) $

次に$v$について積分すると
$\displaystyle u(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U(v,w) = \int c(v) dv = g(v) + h(w)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle g(x + \frac{5 + \sqrt{21}}{2}y) + h(x + \frac{5 - \sqrt{21}}{2}y) \ \ \framebox{終}$  

(b) $v = x+ my, \ w = x + ny$とおくと $u(x,y) = U(v,w)$より
\begin{displaymath}\begin{array}{lll} &u_{xy} &= mU_{vv} + (m+n)U_{vw} + nU_{ww}... ... 4m^2)U_{vv} +(m+n + 8mn)U_{vw} + (n + 4n^2)U_{ww} \end{array}\end{displaymath}

ここで$m,n$を $t + 4t^2 = 0$の解とすると $t = 0, \ -1/4$. よって $m = 0, \ n = -4$とおくと

$\displaystyle (m+n + 8mn)U_{vw} = -\frac{1}{4}U_{vw} = e^{2x + y} = e^{2v + 4v - 4w} $

となる．これより $U_{vw} = -4e^{6v - 4w}$となるので$w$について積分すると

$\displaystyle U_{v} = \int {-4e^{6v - 4w}} dw = -4e^{6v} \int e^{-4w} dw = e^{6v}e^{-4w} + c(v) $

次に$v$について積分すると
$\displaystyle u(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U(v,w) = \int (e^{6v}e^{-4w} + c(v)) dv = \frac{1}{6}e^{-4w}e^{6v} + g(v) + h(w)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{6}e^{2x+y} + g(x) + h(x - \frac{1}{4}) \ \ \framebox{終}$  

(c) $v = x+ my, \ w = x + ny$とおくと $u(x,y) = U(v,w)$より
\begin{displaymath}\begin{array}{lll} &u_{xy} &= mU_{vv} + (m+n)U_{vw} + nU_{ww}... ... - m^2)U_{vv} +(m+n - 2mn)U_{vw} + (n - n^2)U_{ww} \end{array}\end{displaymath}

ここで$m,n$を $t - t^2 = 0$の解とすると $t = 0, \ 1$. よって $m = 0, \ n = 1$とおくと

$\displaystyle (m+n - 2mn)U_{vw} = U_{vw} = 0 $

となる．これを$w$について積分すると

$\displaystyle U_{v} = \int {0} dw = c(v) $

次に$v$について積分すると
$\displaystyle u(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U(v,w) = \int c(v) dv = g(v) + h(w)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle g(x) + h(x + y) \ \ \ \framebox{終}$  

(d) $v = x+ my, \ w = x + ny$とおくと $u(x,y) = U(v,w)$より
\begin{displaymath}\begin{array}{lll} &u_{xx} &= U_{vv} +2U_{vw} + U_{ww} \\ -2... ...25m^2)U_{vv} +(2 - 50mn)U_{vw} + (1 - 25n^2)U_{ww} \end{array}\end{displaymath}

ここで$m,n$を $1 - 25t^2 = 0$の解とすると $t = \pm 1/5$. よって $m =1/5, \ n = -1/5$とおくと

$\displaystyle (2 - 50mn)U_{vw} = 4U_{vw} = 0 $

となる．これより $U_{vw} = 0$となるので$w$について積分すると

$\displaystyle U_{v} = \int {0} dw = c(v) $

次に$v$について積分すると
$\displaystyle u(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U(v,w) = \int {c(v)} dv = g(v) + h(w)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle g(x + \frac{1}{5}) + h(x - \frac{1}{5}) \ \ \framebox{終}$  

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