ドゥモワブルの定理とオイラーの公式(De Moivre's theorem and Euler's formula)

ドゥモワブルの定理

定理 1..1   $(\cos{\theta} + i\sin{\theta})^{n} = \cos{n\theta} + i\sin{n\theta} \ (n$は定数$)$

証明 帰納法を用いた証明 $n=1$のとき，この式が成り立つのは明らか． $n=k$で成り立つと仮定し，$n=k+1$で成り立つことを示す．

$$(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^{k+1} = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^{k}(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$$

$$= (\cos(k\theta)+i\sin(k\theta))(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$$

$$= \cos(k\theta)\cos{\theta}-\sin(k\theta)\sin{\theta}+i\left(\sin(k\theta)\cos{\theta}+\cos(k\theta)\sin{\theta}\right)$$

$$= \cos(k+1)\theta + i\sin(k+1)\theta$$

定理 1..2   オイラーの公式

$$e^{i\theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}$$

証明 $e^{x}, \sin{x}, \cos{x}$のマクローリン展開は

$$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$$

$$\sin{x} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$\cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

であることに注意すると，実数$\theta$に対して

$$e^{i\theta} = (1 + i\theta + \frac{i^{2}\theta^2}{2!} + \cdots )$$

$$= (1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots) + i(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots)$$

$$= \cos{\theta} + i\sin{\theta}$$

が成り立つ．

例題 1..3   次の複素数を簡単にせよ．

$${(\frac{1+i}{\sqrt{2}})^{4}}$$

解 極形式に直す．

$$\frac{1+i}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}$$

より， $r =\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = 1, \theta = \tan^{-1}{1} = \frac{\pi}{4}$.　したがって，

$$\frac{1+i}{\sqrt{2}} = e^{\frac{\pi}{4}i}$$

これより，

$$(\frac{1+i}{\sqrt{2}})^{4} = (e^{\frac{\pi}{4}i})^4 = e^{\pi i} = \cos{\pi} + i \sin{\pi} = -1$$

性質

(1) $\overline{z_{1} \pm z_{2}} = \overline{z_{1}} \pm \overline{z_{2}}, \ \overline... ...}}, \ \overline{\frac{z_{1}}{z_{2}}} = \frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_[2}}$

(2) $\Re z = \frac{z + \overline{z}}{2}, \ \Im z = \frac{(z - \overline{z})}{2i}$

(3) $\vert z_{1}z_{2}\vert = \vert z_{1}\vert\vert z_{2}\vert, \ \vert\frac{z_{1}}{z_{2}}\vert = \frac{\vert z_{1}\vert}{\vert z_{2}\vert} \ (z_{2} \neq 0)$

(4) $\arg(z_{1}z_{2}) = \arg z_{1} + \arg z_{2}, \ \arg(\frac{z_{1}}{z_{2}}) = \arg z_{1} - \arg z_{2}$

(5) $\vert z\vert = \vert\overline{z}\vert, \ z\overline{z} = \vert z\vert^{2}, \ \arg{z} = -\arg{z}$

(6) $\vert\vert z_{1}\vert - \vert z_{2}\vert\vert \leq \vert z_{1} \pm z_{2}\vert \leq \vert z_{1}\vert + \vert z_{2}\vert$

(7) $z = 0$ と $\vert z\vert = 0$ とは同値 ($\arg 0$は不定)

(8) $(\cos{\theta} + i\sin{\theta})^{n} = \cos{n\theta} + i\sin{n\theta} \ (n$は定数$)$ ドゥモワブルの定理

(9) 2項方程式$z^{n} = \alpha(= re^{i\theta})$の解は次の$n$個である.

$$z_{k} = \sqrt[n]{r}\left(\cos{\frac{\theta + 2k\pi}{n}} + i\sin{\frac{\theta + 2k\pi}{n}}\right) \ (k = 0,1,2.\ldots,n-1)$$

例題 1..4   次の方程式を解け $${z^2 = \frac{1+i}{\sqrt{2}}}$$

解 2項方程式の解の公式を利用する． $z^2 = \frac{1+i}{\sqrt{2}} = e^{\frac{\pi}{4}i}$　より，その解は

$$\cos{\frac{\pi/4+2k\pi}{n}} + i\sin{\frac{\pi/4+2k\pi}{n}} \ (k = 0,1)$$

練習問題1.2

1. De Moivreの定理をEulerの公式を用いて証明せよ．

2. 次の複素数を簡単にせよ．

(a)

$\left(\frac{1 - i}{\sqrt{2}}\right)^{7}$

(b)

$(\sqrt{3} - i)^{6}$

(c)

$\frac{(1 + \sqrt{3}i)^{6}}{(-1 + i)^{10}}$

3. 次の方程式を解け．

(a)

$z^2 = i$

(b)

$z^3 = -1$

(c)

$z^4 = -1 + \sqrt{3}i$

4. 次の値を$x + iy$の形(直交形式)で表わせ．

(a)

$e^{i\frac{3}{4}\pi}$

(b)

$e^{-i\frac{1}{6}\pi}$

(c)

$e^{2 + i\pi}$

(d)

$e^{2- i\frac{3}{2}\pi}$

5. 次の複素数を $re^{i\theta}$の形(極形式)で表わせ．

(a)

$-2$

(b)

$i$

(c)

$1+i$

(d)

$\sqrt{3} - i$

(6) $\vert z\vert = 1$であるための必要十分条件は $z = e^{i\theta}$の形に表わせることである．これを証明せよ．