1.2 ドゥモワブルの定理とオイラーの公式

1.

オイラーの公式より $e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$．これより全ての実数$n$に対して

$$(\cos{\theta} + i\sin{\theta})^{n} = (e^{i\theta})^{n} = e^{in\theta} = \cos{n\theta} + i\sin{n\theta}$$

が成り立つ．

2.

(a) 累乗を含んでいる場合，括弧の中を一度極形式に直すとよい．

$$\frac{1 - i}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}}$$

より $r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1, \theta = \tan^{-1}{-1} = -\frac{\pi}{4}$．したがって

$$\frac{1 - i}{\sqrt{2}} = e^{-\frac{\pi}{4}i}$$

これより

$$\left(\frac{1 - i}{\sqrt{2}}\right)^{7} = (e^{-\frac{\pi}{4}i})^{7} = e^{-\frac{7\pi}{4}i} = e^{\frac{\pi}{4}i}$$

$$= \cos{\frac{\pi}{4}} + i \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$$

(b) 累乗を含んでいる場合，括弧の中を一度極形式に直すとよい．

$$\sqrt{3} - i = 2e^{-\frac{\pi}{6}i}$$

これより

$$\left(\sqrt{3} - i \right)^{6} = (2e^{-\frac{\pi}{6}i})^{6} = 64e^{-\pi i}$$

$$= 64[\cos{\pi} - i \sin{\pi}] = -64$$

(c) 累乗を含んでいる場合，括弧の中を一度極形式に直すとよい．

$$\frac{(1 + \sqrt{3}i)^{6}}{(-1 + i)^{10}} = \frac{(2e^{\pi i/3})^6}{(\sqrt{2}e^{3\pi i/4})^{10}}$$

$$= \frac{2^{6} e^{2\pi i}}{2^{5} e^{15\pi i/2}} = 2 e^{2\pi i - 15\pi i/2} = 2e^{-11\pi i/2} = 2e^{\pi i/2} = 2i$$

3.

(a) 2項方程式の根の公式を利用する

$z^{2} = i = e^{\pi i/2}$から根は $\cos{\frac{\pi/2 + 2k\pi}{2}} + i\sin{\frac{\pi/2 + 2k\pi}{2}} \ (k = 0,1)$

(b) 2項方程式の根の公式を利用する

$z^{3} = -1 = e^{\pi i}$から根は $\cos{\frac{\pi + 2k\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi + 2k\pi}{3}} \ (k = 0,1,2)$

(c) 2項方程式の根の公式を利用する

$z^{4} = -1 + \sqrt{3} i = 2e^{2\pi i/3}$から根は $2^{1/4}[\cos{\frac{2\pi/3 + 2k\pi}{4}} + i\sin{\frac{2\pi/3 + 2k\pi}{4}}] \ (k = 0,1,2,3)$

4.

(a) 極形式を直交形式に直すには， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$を用いればよい．

$$e^{i\frac{3}{4}\pi} = \cos{3\pi/4} + i \sin{3\pi/4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}$$

(b) 極形式を直交形式に直すには， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$を用いればよい．

$$e^{-i\frac{1}{6}\pi} = \cos{\pi/6} - i \sin{\pi/6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2}$$

(c) 極形式を直交形式に直すには， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$を用いればよい．

$$e^{2 + i\pi} = e^2 e^{i \pi} = e^{2}[\cos{\pi} + i \sin{\pi} ]= -e^{2}$$

(d) 極形式を直交形式に直すには， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$を用いればよい．

$$e^{2 - i\frac{3}{2}\pi} = e^2 e^{-i\frac{3}{2}\pi} = e^{2}[\cos{3\pi/2} - i \sin{3\pi/2}]= e^{2}i$$

5.

(a) 直交形式を極形式に直すには $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$ただし， $-\pi < \theta \leq \pi$．

$$-2 = -2 + 0i = \sqrt{2^2 + 0^2}e^{\pi i} = 2e^{\pi i}$$

(b) 直交形式を極形式に直すには $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$ただし， $-\pi < \theta \leq \pi$．

$$i = 0 + i = \sqrt{0 + 1^2}e^{\pi i/2} = e^{\pi i/2}i$$

(c) 直交形式を極形式に直すには $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$ただし， $-\pi < \theta \leq \pi$．

$$1 + i = \sqrt{1^2 + 1^2}e^{\pi i/4} = \sqrt{2}e^{\pi i/2}$$

(d) 直交形式を極形式に直すには $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$ただし， $-\pi < \theta \leq \pi$．

$$\sqrt{3} - i = \sqrt{\sqrt{3}^2 + (-1)^2}e^{-\pi i/6} = 2e^{-\pi i/6}$$

6. まず，$\vert z\vert = 1$ならば $z = e^{i\theta}$であることを示す．

$z = re^{\theta}$とおくと，$\vert z\vert = 1$より

$$\vert re^{i\theta}\vert = \vert r\vert\vert e^{i\theta}\vert = \vert r\vert = 1$$

$r \geq 0$より$r = 1$となり $z = e^{\theta}$であることが示せた．

次に， $z = e^{i\theta}$ならば，$\vert z\vert = 1$を示す．

$$\vert z\vert = \vert e^{i\theta}\vert = \vert\cos{\theta} + i\sin{\theta}\vert = \sqrt{\cos{\theta}^{2} + \sin{\theta}^{2}} = 1$$