1.1 複素数と複素平面

1.

2.

(a) $z_{1} = x_{1} + i y_{1}, z_{2} = x_{2} + i y_{2}$とおくと，

$$\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{x_{1} + iy_{1} + x_{2} + iy_{2}} = x_{1} + x_{2} + i(y_{1} + y_{2})$$

$$= x_{1} + x_{2} - i(y_{1} + y_{2}) = x_{1} - iy_{1} + x_{2} - iy_{2} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$$

(b) $z_{1} = x_{1} + i y_{1}, z_{2} = x_{2} + i y_{2}$とおくと，

$$\bar{z_{1}z_{2}} = \bar{(x_{1} + iy_{1})(x_{2} + iy_{2})} = \bar{x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} + i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})}$$

$$= x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} - i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1}) = (x_{1} - iy_{1})(x_{2} - iy_{2})$$

$$= \bar{z_{1}}\bar{z_{2}}$$

(c) $z = x + iy$とおくと，

$$\frac{z + \bar{z}}{2} = \frac{x + iy + x - iy}{2} = x = Re{z}$$

3.

(a)

$$\Re{z} = \frac{z + \bar{z}}{2} \leq \frac{\vert z\vert + \vert z\vert}{2} = \vert z\vert$$

(b) 距離が絡んだら2乗を考える．

$$\vert z_{1} + z_{2}\vert^2 = (z_{1} + z_{2})\bar{z_{1} + z_{2}} = \vert z_{1}\vert^2 + z_{1}\bar{z_{2}} + \bar{z_{1}}z_{2} + \vert z_{2}\vert^2$$

$$= \vert z_{1}\vert^2 + 2\Re{z_{1}\bar{z_{2}}} + \vert z_{2}\vert^2 \leq \vert z_{1}\vert^2 + 2\vert z_{1}\vert \vert z_{2}\vert + \vert z_{2}\vert^2$$

$$= (\vert z_{1}\vert + \vert z_{2}\vert)^2$$

両辺の平方根をとると $\vert z_{1} + z_{2}\vert \leq \vert z_{1}\vert + \vert z_{2}\vert$

(c) $Re{z} \leq \vert z\vert$より $-\vert z\vert \leq -\Re{z}$に注意する．

$$\vert\vert z_{1}\vert - \vert z_{2}\vert\vert^2 = \vert z_{1}\ver... ...2 - 2\Re{z_{1}\bar{z_{2}}} + \vert z_{2}\vert^2 \leq \vert z_{1} - z_{2}\vert^2$$

したがって， $\vert\vert z_{1}\vert - \vert z_{2}\vert\vert \leq \vert z_{1} - z_{2}\vert$

4.

(a) 直交形式から極形式は $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$ただし， $-\pi < \theta \leq \pi$．

$-1 + i$を極形式に変換するには， $r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$と $\theta = \tan^{-1}{-1} = -\frac{\pi}{4}$を求めればよい．これより

$$-1 + i = \sqrt{2}e^{-\pi i/4}$$

(b) 直交形式から極形式は $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$ただし， $-\pi < \theta \leq \pi$．

$3 - \sqrt{3}i$を極形式に変換するには， $r = \sqrt{(3)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$と $\theta = \tan^(\frac{-\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$を求めればよい．これより

$$3 - \sqrt{3} i = 2\sqrt{3}e^{-\pi i/6}$$

(c) 直交形式から極形式は $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$ただし， $-\pi < \theta \leq \pi$．

$$-1 = -1 + 0i = e^{\pi}$$

(d) 直交形式から極形式は $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$ただし， $-\pi < \theta \leq \pi$．

$$2i = 0 + 2i = 2e^{\pi/2}$$

5.

(a) $\arg{z}$とは$x$軸と原点から点$z$に引いた直線のなす角である．よってこれが一定ということは，点$z$の集まりは原点から$x$軸と一定の角をなす点となるので，直線である．

別解 $\arg{z} = 一定$とはある定数$c$で $\tan^{-1}{(y/x)} = c$のことである．よって $\frac{y}{x} = \tan{c}$より $y = \tan{c}x$つまり，原点から放たれた直線である．

(b) $\vert z\vert = 一定$とは原点からの距離が一定のことである．したがって円を描く．

別解 $\vert z\vert = \sqrt{x^2 + y^2}$より$\vert z\vert = 一定$ならば， $\sqrt{x^2 + y^2} = c$．よって ${x^2 + y^2} = c^2$で円．

(c) $\vert z-1\vert$とは点1からの距離．また，$\vert z-i\vert$とは点$i$からの距離．この2つが等しい点の集まりは，点1と点$i$を通る垂直2等分線である．

別解 $\vert z-1\vert = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$， $\vert z-i\vert = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$より $\vert z - 1\vert = \vert z - i\vert$を書き直すと

$$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$$

これより

$$(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2 \Rightarrow 2x - 2y = 0 \Rightarrow y = x$$

(d) $\vert z-2i\vert$とは点2iからの距離． よって $\vert z - 2i\vert = 3$は中心$2i$で半径が3の円を描く．

別解 $\vert z-2i\vert = \sqrt{x^2 + (y-2)^2}$より $\vert z - 2i\vert = 3$を書き直すと

$${x^2 + (y-2)^2} = 3^2$$

これより 中心$2i$で半径が$3$の円であることが分かる．

(e) $\vert z+3\vert$とは $\vert z - (-3)\vert$のことであるから点(-3)からの距離．$\vert z-1\vert$は点1からの距離． よって $\vert z + 3\vert = 3\vert z - 1\vert$は点-3からの距離が点1からの距離の3倍になっている点$z$の集まり．このような点は点-3と点1を結ぶ直線を3:1に内分する点と外分する点を直径とする円を描く．この円をアポロ二ウスの円という．

別解 $\vert z+3\vert = \sqrt{(x+3)^2 + y^2}$， $3\vert z-1\vert = 3\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$より $\vert z + 3\vert = 3\vert z - 1\vert$を書き直すと

$$(x+3)^2 + y^2 = 9[(x-1)^2 + y^2]$$

この式を整理すると

$$8x^2 -18x + 8y^2 = 0$$

または，

$$8[(x - \frac{9}{8})^2 + y^2] = \frac{81}{8}$$

よって中心 $\frac{9}{8}$で半径が $\frac{9}{2\sqrt{2}}$の円であることが分かる．