複素数と複素平面(Complex numbers and Complex plane)

複素数

$x^2 + 1 = 0$ の解は実数 ${\cal R}$ 上では存在しない．そこで，この方程式が解けるようにするために虚数単位 $i$ が導入された．つまり， $i^2 + 1 = 0$ となったわけである．

虚数単位を取り入れることにより，複素数(complex number)とよばれる新しい数の体系ができた． $x,y$ を実数とする．これを $x,y \in {\cal R}$ と表わし， $x + yi$ を複素数という．

複素数 $z = x + yi$ を直交形式という．ただし， $i^{2} = -1$ ．

複素数 $z = x + yi$ の $x$ を実部といい， $x = {\rm Re} z$ , $y$ を虚部といい $y = {\rm Im} z$ で表わす．

複素数の演算は，実数の演算と同じで $i^2$ を $-1$ で置き換えればよい．

例題 1..1 とするとき，以下のものを直交形式で求めよ．

(a)

(b)

(c)

解 (a) $z_1 z_2 = (4+3i)(2-5i) = 8-20i +6i -15i^2 = 23 - 14i$

(b) $\displaystyle{\frac{1}{z_1} = \frac{1}{(4+3i)} = \frac{(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{(4-3i)}{(16+9)} = \frac{4-3i}{25}}$

(c) $\displaystyle{\frac{(z_1-z_2)}{(z_1+z_2)} = \frac{(4+3i-2+5i)}{(4+3i+2-5i)} = \frac{2+8i}{6-2i} = \frac{(2+8i)(6+2i)}{(6-2i)(6+2i)} = \frac{-4+52i}{40}}$

複素平面

$z = x + yi$ を平面上の直交座標形の点 $(x,y)$ に対応させたとき，この平面を複素平面(complex plane)または，Gauss平面という．

$x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$ で定義される極座標 $r,\theta$ を利用すると， $z = x + iy = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ で表され，これを極形式(polar form) という．

$z$ の絶対値は $\vert z\vert = r = \sqrt{x^2 + y^2} \geq 0$ ．また，原点と $z$ を結ぶ半直線が実軸となす角 $\theta$ を偏角(argument)といい，偏角は $\arg z = \theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}} \ (-\pi < \theta \leq \pi)$ で表わされる．

$z$ の共役複素数(conjugate)は $\overline{z} = x - yi = r(\cos{\theta} - i\sin{\theta}) = re^{-i\theta}$ で表わされる．

例題 1..2 次の複素数を極形式で表せ．

(a) $1+i$ , (b) $\frac{1-i}{1+i}$

解 (a) 直交形式から極形式への変換は， $r = \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \tan^{-1}{\frac{x}{y}}$ . ただし， $-\pi < \theta \leq \pi$ .

$\displaystyle{r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2},\ \theta = \tan^{-1}\frac{1}{1} = \tan^{1}{1}}$ より， $\theta = \frac{\pi}{4}$ ．したがって， $\displaystyle{1 + i = \sqrt{2}\left(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})\right)}$

(b) $\displaystyle{\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1+i)}{(1+i)^2} = \frac{2}{2i} = \frac{1}{i} = -i}$ . これより， $r = 1$ , $\theta = -\frac{\pi}{2}$ . これより， $\displaystyle{\frac{1-i}{1+i} = \cos(-\frac{\pi}{2})+i\sin(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2})-i\sin(\frac{\pi}{2})}$

練習問題1.1

1. 複素平面上で点 $-3,2i,4+i,2-2i$

を図示せよ．

2. 次の定理を証明せよ．

(a): $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$
(b): $\bar{z_{1}z_{2}} = \bar{z_{1}}\bar{z_{2}}$
(c): $Re(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}$

3. 次の不等式を証明せよ．

(a): $Re{z} \leq \vert z\vert$
(b): $\vert z_{1} + z_{2}\vert \leq \vert z_{1}\vert + \vert z_{2}\vert$
(c): $\vert\vert z_{1}\vert - \vert z_{2}\vert\vert \leq \vert z_{1} - z_{2}\vert$

4. 次の複素数を極形式で表わせ．

(a)
(b): $3 - \sqrt{3}i$
(c)
(d)

5. 次の式を満たす点はどのような曲線を描くか．

(a): $\arg z = 一定$
(b): $\vert z\vert = 一定$
(c): $\vert z - 1\vert = \vert z - i\vert$
(d): $\vert z - 2i\vert = 3$
(e): $\vert z + 3\vert = 3\vert z - 1\vert$
(f): $z - \bar{z} = 2i$