2.3 初等関数

1.

(a) この段階では $e^{z} = e^{x}(\cos{y}+i\sin{y})$を用いる．

$e^{z} = 1$より $e^{x}(\cos{y} + i\sin{y}) = 1$．ここで，複素数が等しいのは実部と虚部どうしが等しいことであることに注意すると，次の連立方程式を得る．

$\left\{\begin{array}{l} e^{x}\cos{y} = 1\\ e^{x}\sin{y} = 0 \end{array}\right.$

ここで， $\cos^{2}{y} + \sin^{2}{y} = 1$であることに注意すると

$$e^{2x}\cos^{2}{y} + e^{2x}\sin^{2}{y} = e^{2x} = 1$$

よって$2x = 0$．つまり$x = 0$となる．これを上の連立方程式に代入すると $\cos{y} = 1, \ \sin{y} = 0$となり，これより $y = 2n\pi (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots )$を得る．よって求める$z$は

$$z = x + iy = 2n\pi i$$

(b) この段階では $e^{z} = e^{x}(\cos{y}+i\sin{y})$を用いる．

$e^{z} = i$より $e^{x}(\cos{y} + i\sin{y}) = i$．ここで，複素数が等しいのは実部と虚部どうしが等しいことであることに注意すると，次の連立方程式を得る．

$\left\{\begin{array}{l} e^{x}\cos{y} = 0\\ e^{x}\sin{y} = 1 \end{array}\right.$

ここで， $\cos^{2}{y} + \sin^{2}{y} = 1$であることに注意すると

$$e^{2x}\cos^{2}{y} + e^{2x}\sin^{2}{y} = e^{2x} = 1$$

よって$2x = 0$．つまり$x = 0$となる．これを上の連立方程式に代入すると $\cos{y} = 0, \ \sin{y} = 1$となり，これより $y = \frac{1}{2} + 2n\pi (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots )$を得る．よって求める$z$は

$$z = x + iy = (\frac{1}{2} + 2n\pi)i$$

(c) この段階では $e^{z} = e^{x}(\cos{y}+i\sin{y})$を用いる．

$e^{z} = -2$より $e^{x}(\cos{y} + i\sin{y}) = -2$．ここで，複素数が等しいのは実部と虚部どうしが等しいことであることに注意すると，次の連立方程式を得る．

$\left\{\begin{array}{l} e^{x}\cos{y} = -2\\ e^{x}\sin{y} = 0 \end{array}\right.$

ここで， $\cos^{2}{y} + \sin^{2}{y} = 1$であることに注意すると

$$e^{2x}\cos^{2}{y} + e^{2x}\sin^{2}{y} = e^{2x} = 4$$

よって $2x = \log{4}$．つまり $x = \log{2}$となる．これを上の連立方程式に代入すると $\cos{y} = -1, \sin{y} = 0$となり，これより $y = \pi + 2n\pi(n = 0,\pm1,\pm2,\ldots)$を得る．よって求める$z$は

$$z = x + iy = \log{2} + (\pi + 2n\pi) i$$

(a) 三角関数はいったん指数関数を用いて書き直す．その後極形式を直交形式に直せばよい．

$\sin{2i}$を指数関数を用いて表すと

$$\sin{z} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$$

より

$$\sin{2i} = \frac{e^{-2} - e^{2}}{2i} = i\frac{e^2 - e^{-2}}{2}$$

(b) 加法定理を使って簡単にする．

$$\sin{\left(\frac{\pi}{2} + i\right)} = \sin{\frac{\pi}{2}}\cos{i} + \cos{\frac{\pi}{2}}\sin{i}$$

$$= \cos{i} = \frac{e^{-1} + e}{2}$$

(c) 加法定理を使って簡単にする．

$$\cos{\left(\frac{\pi}{3} - i\right)} = \cos{\frac{\pi}{3}}\cos{i} + \sin{\frac{\pi}{3}}\sin{i}$$

$$= \frac{1}{2}\cos{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{i}$$

$$= \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{-1} + e}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{e^{-1} - e}{2i}$$

$$= \frac{e^{-1} + e}{4} - i\frac{\sqrt{3}(e - e^{-1})}{4}$$

(d) $tan{z} = \frac{\sin{z}}{\cos{z}}$

$$\tan{\left(\frac{\pi}{6} + 2i\right)} = \frac{\sin{\frac{\pi}{6}} + 2i}{\cos{\frac{\pi}{6}} + 2i}$$

$$= \frac{\sin{\frac{\pi}{6}}\cos{2i} + \cos{\frac{\pi}{6}}\sin{2i}} {\cos{\frac{\pi}{6}}\cos{2i} - \sin{\frac{\pi}{6}}\sin{2i}}$$

$$= \frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{-2} + e^2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}... ...{3}}{2}\cdot \frac{e^{-2} + e^2}{2} - \frac{1}{2}\cdot i\frac{e^2 - e^{-2}}{2}}$$

$$= \frac{e^{-2} + e^2 + i\sqrt{3}(e^2 - e^{-2})}{\sqrt{3}(e^{-2} + e^2) - i (e^2 - e^{-2})}$$

$$= \frac{(e^{-2} + e^2 + i\sqrt{3}(e^2 - e^{-2}))(\sqrt{3}(e^{-2} + ... ...}(e^{-2} + e^2) - i (e^2 - e^{-2}))(\sqrt{3}(e^{-2} + e^2) + i (e^2 - e^{-2}))}$$

$$= \frac{\sqrt{3}(e^{-4} + 2 + e^4) - \sqrt{3}(e^4 - 2 + e^{-4}) + 3i(e^4 - e^{-4}) + i(e^{4} - e^{-4})}{3(e^{-4} + 2 + e^{4}) + e^{4} - 2 + e^{-4}}$$

$$= \frac{4\sqrt{3} + 4i(e^{4} - e^{-4})}{4e^{-4} + 4 + e^{4}} = \frac{\sqrt{3} + i(e^{4} - e^{-4})}{e^{4} + 1 + e^{-4}}$$

(e)

$$\sin{iy} = \frac{e^{-y} - e^{y}}{2i} = i\frac{e^{y} - e^{-y}}{2}$$

(e)

$$\cos{iy} = \frac{e^{-y} + e^{y}}{2}$$

3.

(a) 基本となるのは $\cos^{2}{z} + \sin^{2}{z} = 1$です．

$\cos^{2}{z} + \sin^{2}{z} = 1$の両辺を $\cos^{2}{z}$で割ると

$$\frac{\cos^{2}{z}}{\cos^{2}{z}} + \frac{\sin^{2}{z}}{\cos^{2}{z}} = \frac{1}{\cos^{2}{z}}$$

よって

$$1 + \tan^{2}{z} = \frac{1}{\cos^{2}{z}}$$

(b)

$$\sin{(-z)} = \frac{e^{-iz} - e^{iz}}{2i} = - \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = - \sin{z}$$

(c)

$$\cos{(-z)} = \frac{e^{-iz} + e^{iz}}{2} = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = \cos{z}$$

4.

(a) $f(z + c) = f(z)$を満たす$c$のうち$\vert c\vert$が最小のものを関数$f(z)$の周期という．また， $e^{(z + 2i\pi)} = e^{z}$であることに注意する．

$\sin{(z + c)} = \sin{z}$とおいて$c$の値を求める．

$\sin{(z+c)} = \frac{e^{i(z+c)} - e^{-i(z+c)}}{2i}$より， $\sin{(z + c)} = \sin{z}$おくと

$$e^{i(z+c)} - e^{-i(z+c)} = e^{iz} - e^{-iz}$$

$$e^{i(z+c)} - e^{iz} = -e^{-i(z+c)}e^{-iz}(e^{i(z+c)} - e^{iz})$$

ここで両辺をよく見ると $e^{i(z+c)} - e^{iz}$が共通項であることが分かる．したがって，

$$(e^{i(z+c)} - e^{iz})(1 + e^{-i(z+c)}e^{-iz}) = 0$$

よって

$$e^{i(z+c)} = e^{iz} \ または e^{i(z+c)} = - e^{-iz}$$

ここで指数関数の周期は$2\pi i$であることを用いると， $e^{ic} = 1$より$c = 2n\pi$．また， $e^{i(z+c)} = - e^{-iz}$より $z+c = -z + n\pi$

5.

(a) $\tan{z_{1}} = \tan{z_{2}}$とおくと

$$\frac{\sin{z_{1}}}{\cos{z_{1}}} = \frac{\sin{z_{2}}}{\cos{z_{2}}}$$

$$\frac{\frac{e^{iz_{1}} - e^{-iz_{1}}}{2i}}{\frac{e^{iz_{1}} + e^{-iz_{1}}}{2}} = \frac{\frac{e^{iz_{2}} - e^{-iz_{2}}}{2i}}{\frac{e^{iz_{2}} + e^{-iz_{2}}}{2}}$$

$$\frac{i(e^{-iz_{1}} - e^{iz_{1}})}{e^{iz_{1}} + e^{-iz_{1}}} = \frac{i(e^{-iz_{2}} - e^{iz_{2}})}{e^{iz_{2}} + e^{-iz_{2}}}$$

$$\frac{i(1 - e^{2iz_{1}})}{e^{2iz_{1}} + 1} = \frac{i(1 - e^{iz_{2}}}{e^{2iz_{2}} + 1}$$

$$(1 - e^{2iz_{1}})(e^{2iz_{2}} + 1) = (e^{2iz_{1}} + 1)(1 - e^{2iz_{2}})$$

$$e^{2iz_{2}} - e^{2iz_{1}}e^{2iz_{2}} - e^{2iz_{1}}+ 1 = e^{2iz_{1}} - e^{2iz_{1}}e^{2iz_{2}} - e^{2iz_{2}}+ 1$$

$$e^{2iz_{2}} = e^{2iz_{1}}$$

これより $z_{2} = z_{1} + n \pi$．したがって，$\tan{z}$は周期$\pi$を持つ．