１次関数

1.

(a) $w = \frac{1}{z}$は単位円$\vert z\vert = 1$に関して，点$z$を反転して$z_{1}$をとり，さらに実軸に関して$z_{1}$を対称変換する．

2点P，Qは単位円上にあるので， $w = \frac{1}{z}$によって実軸に関して対称な点P',Q'に写る．また，直線の無限遠点は原点に写る．さらに $w = \frac{1}{z}$は円円対応であることから，この直線は原点，P'，Q'を通る円に写される．

(b) $w = \frac{1}{z}$は単位円$\vert z\vert = 1$に関して，点$z$を反転して$z_{1}$をとり，さらに実軸に関して$z_{1}$を対称変換する．

点Pは単位円上にあるので， $w = \frac{1}{z}$によって実軸に関して対称な点P'に写る．また，直線の無限遠点は原点に写る．さらに $w = \frac{1}{z}$は円円対応であることから，この直線は原点とP'を直径とする円に写される．

(c) $w = \frac{1}{z}$は単位円$\vert z\vert = 1$に関して，点$z$を反転して$z_{1}$をとり，さらに実軸に関して$z_{1}$を対称変換する．

点$a$は $\frac{1}{a}$に，点$i$は $\frac{1}{i}$に，点$-i$は $\frac{1}{-i}$にそれぞれ写される．さらに $w = \frac{1}{z}$は円円対応であることから，3点$a,i,-i$を通る円は3点 $\frac{1}{a},\frac{1}{i},\frac{1}{-i}$を通る円に写される．

2.

(a) 不変な点とは$f(z) = z$を満たす点のことである．

$w = \frac{1}{z} = z$とおくと$z^2 = 1$．したがって， 2項方程式の根の公式を利用すると

$z^{2} = 1 = e^{0}$から根は $\cos{\frac{0 + 2k\pi}{2}} + i\sin{\frac{0 + 2k\pi}{2}} \ (k = 0,1)$．つまり$\pm 1$．

(b) 不変な点とは$f(z) = z$を満たす点のことである．

$w = \frac{az + b}{cz + d} = z$とおくと $cz^2 + dz= az + b$．書き直すと

$$cz^2 + (d -a)z - b = 0$$

したがって，

$$z = \frac{(a - d) \pm \sqrt{(a -d)^2 + 4bc}}{2c}$$