3.6 無理関数の積分法

如何に有理関数に直すかが問題

1.

(a) 無理関数 $\sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}$をtとおくことにより，有理関数に直す． $t = \sqrt{x}$ とおくと $t^2 = x$より $2t dt = dx$. したがって，

$$\int{\frac{1}{1 + \sqrt{x}}}\; dx = \int \frac{2t}{1 +t}\; dt$$

$$= \int \frac{2(t+1) - 2}{1 +t}\; dt$$

$$= \int (2 - \frac{2}{1+t})\; dt$$

$$= 2t - 2\log\vert 1+t\vert + C$$

$$= 2\sqrt{x} - 2\log\vert 1 + \sqrt{x}\vert + C$$

(b) 無理関数 $\sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}$をtとおくことにより，有理関数に直す． $t = \sqrt{x}$ とおくと $t^2 = x$より $2t dt = dx$. したがって，

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}}\; dx = \int \frac{t}{t + 1}\cdot 2t\; dt$$

$$= \int \frac{2t^2}{t+1}\; dt \left(\begin{array}{cccccc} & & 2t &... ...& & - & 2t &\\ & & & - & 2t & -2 \ \cline{4-6} & & & & & 2 \end{array}\right.$$

$$= \int \left(2t -2 + \frac{2}{t+1}\right)\; dt$$

$$= t^2 - 2t + 2\log\vert t + 1\vert + C$$

$$= x - 2\sqrt{x} + 2\log\vert\sqrt{x} + 1\vert + C$$

(c) 無理関数 $\sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}$をtとおくことにより，有理関数に直す． $t = \sqrt{1 - e^{x}}$ とおくと $t^2 = 1 - e^{x}$より $2t dt = -e^{x}dx$. したがって， $dx = \frac{2tdt}{-e^{x}} = \frac{2tdt}{t^2 -1}$. これより，

$$\int{\frac{dx}{\sqrt{1 - e^{x}}}} = \int \frac{1}{t}\cdot \frac{2t}{t^2 -1}\; dt$$

$$= \int \frac{2}{t^2 - 1}\; dt \left(\int \frac{1}{x^2 - a^2}\; dx = \frac{1}{2a}\log\vert\frac{x-a}{x+a}\vert + c\right)$$

$$= \log\vert\frac{t-1}{t+1}\vert + C$$

$$= \log\vert\frac{\sqrt{1 - e^x} - 1}{\sqrt{1 - e^{x}} + 1}\vert + C$$

(d) 無理関数 $\sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}$をtとおくことにより，有理関数に直す． $t = \sqrt{x - 1}$ とおくと $t^2 = x - 1$より $2t dt = dx$. したがって，

$$\int{\frac{x}{\sqrt{x-1}}}\; dx = \int \frac{t^2+1}{t}\cdot 2t\; dt$$

$$= 2\int(t^2 + 1)\; dt$$

$$= 2\left(\frac{t^3}{3} + t\right) + C$$

$$= \frac{2(x-1)^{3/2}}{3} + 2\sqrt{x-1} + C$$

(e) 平方根の中が2次関数で分子が奇数次の式なので． $t = \sqrt{x^2 + 4}$ とおくと $t^2 = x^2 + 4$より $2t dt = 2x dx$. したがって，

$$\int{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}}\; dx = \int \frac{t}{t}\; dt$$

$$= \int\; dt$$

$$= t + C$$

$$= \sqrt{x^2 + 41} + C$$

別解 $t =x^2 + 4$ とおくと $dt = 2xdx$. したがって，

$$\int{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}}\; dx = \int \frac{dt/2}{\sqrt{t}}$$

$$= \frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}\; dt$$

$$= \frac{1}{2}\cdot 2t^{1/2}+ C$$

$$= \sqrt{x^2 + 41} + C$$

(f) 平方根の中が2次関数で分子が奇数次の式なので．． $t = \sqrt{x^2 + 4}$ とおくと $t^2 = x^2 + 4$より $2t dt = 2x dx$. したがって，

$$\int{\frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 4}}}\; dx = \int \frac{x^2 \cdot x}{\sqrt{x^2 + 4}}\; dx$$

$$= \int \frac{(t^2 - 4)t}{t}\; dt$$

$$= \int (t^2 - 4)\; dt$$

$$= \frac{t^3}{3} - 4t + C$$

$$= \frac{(x^2 + 4)^{3/2}}{3} - 4\sqrt{x^2 + 4} + C$$

(g) 平方根の中が2次関数で分子が偶数次の式なので．次のどちらかに帰着する．

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\; dx = \sin^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}\; dx = \log\vert x + \sqrt{x^2 + A}\vert + C$$

$x^2 - 2x - 2$を平方完成すると $(x-1)^2 - 4$となる．そこで， $t = x-1$ とおくと $dt = dx$. したがって，

$$\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2 - 2x -3}}} = \int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)^2 - 4}}$$

$$= \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 2^2}}$$

$$= \log\vert t + \sqrt{t^2 -4}\vert + C$$

$$= \log\vert x-1 + \sqrt{x^2 - 2x -3}\vert + C$$

(h) 平方根の中が2次関数で分母が奇数次の式なので， $t = \sqrt{x^2 - 1}$ とおくと $t^2 = x^2 - 1$より $2t dt = 2x dx$. したがって，

$$\int{\frac{\sqrt{x^2 -1}}{x}}\; dx = \int \frac{x \sqrt{x^2 -1}}{x^2}\; dx$$

$$= \int \frac{2t \cdot t}{t^2 + 1}\; dt$$

$$= 2\int \frac{t^2}{t^2 + 1}\; dt$$

$$= 2\int \frac{t^2 + 1 -1}{t^2 + 1}\; dt$$

$$= 2\int (1 - \frac{1}{t^2 + 1})\; dt$$

$$= 2(t - \tan^{-1}{t}) + C$$

$$= 2(\sqrt{x^2 - 1} - \tan^{-1}{\sqrt{x^2 -1}}) + C$$