曲線の概形(curve sketching)

確認問題

1.

次の曲線の漸近線を求めよう．

(a) $${f(x) = \frac{x}{3x-1}}$$ (b) $${y = \frac{x^{2}}{x-2}}$$ (c) $${y = \frac{2x}{x^{2}-9}}$$

2.

次の曲線は垂直接線または垂直カスプ(尖点)を持っているか判断しよう．垂直接線とは，点$(c,f(c))$において，$x \to c$のとき， $f'(x) \to \infty$または$-\infty$が成り立つことであり，垂直カスプとは， $f'(c-0) = \pm \infty$で $f'(c+0) = \mp \infty$が成り立つことである．

(a) $${f(x) = x^{1/3}}$$ (b) $${f(x) = x^{2/3}}$$ (c) $${f(x) = \sqrt{\vert x-2\vert}}$$

演習問題

1.

次の曲線の概形を描いてみよう．

(a) $${y = \frac{1}{1 + e^{x}}}$$ (b) $${y = \frac{1-x}{1 + x}}$$

2.

次の曲線の概形を描いてみよう．

(a) $${r = a\cos{\theta}, a > 0}$$ 円(circle)

(b) $${r = 3\theta}$$, アルキメデスの渦線(spiral)

(c) $${r^2 = 4\cos{2\theta}}$$ ベルヌーイのラムニスケイト(lemniscate)