導関数(derivatives)

確認問題

1.

次の関数の導関数を定義に基づいて求めよう．

(a) $\displaystyle{f(x) = c}$ (b) $\displaystyle{f(x) = \sqrt{x-1}}$ (c) $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x^{2}}}$

2.

次の関数の

での微分係数を定義に基づいて求めよう．

(a) $\displaystyle{f(x) = 5x - x^{2}}$ (b) $\displaystyle{f(x) = （3x - 7)^{2}}$

3.

次の曲線上の与えられた $a$

に対応する点における接線の方程式を求めよう．

(a) $\displaystyle{f(x) = x^{2} - 5x + 3, a = 2}$ (b) $\displaystyle{f(x) = 5 - x^{3}, a = 2}$ (c) $\displaystyle{f(x) = \sqrt{x}, a = 4}$

4.

次の関数の導関数を求めよう．

(a) $\displaystyle{y = 11x^{5} - 6x^{3} + 8}$ (b) $\displaystyle{y = -\frac{1}{x^{2}}}$ (c) $\displaystyle{y = (x^{2} - 1)(x-3)}$

(d) $\displaystyle{y = \frac{x-1}{x-2}}$ (e) $\displaystyle{y = \frac{x^{2}-1}{2x+3}}$ (f) $\displaystyle{y = \frac{6 - 1/x}{x-2}}$ (g) $\displaystyle{y = \frac{1 + x^{4}}{x^{2}}}$

演習問題

1.

次の関数の導関数を定義に基づいて求めよう．

(a) $\displaystyle{f(x) = \cos{3x}}$ (b) $\displaystyle{f(x) = (x + 2)^{n} (n : \mbox{整数})}$

2.

次の関数の微分を求めよう．

(a) $\displaystyle{f(x) = x^4}$ (b) $\displaystyle{f(x) = e^{x}}$

3.

次の関数の

における右側微分係数，および左側微分係数を求めよう．

(a) $\displaystyle{f(x) = \vert x^2 + x\vert}$ (b) $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^2 \sin{\frac{1}{x}}, & x \neq 0\\ 0, & x = 0 \end{array}\right.}$ (c) $\displaystyle{f(x) = \sqrt{x^3 + x^2}}$

4.

次の関数の導関数を求めよう．

(a) $\displaystyle{y = \frac{3x-1}{x^{2} + 1}}$ (b) $\displaystyle{y = \sec{x}}$ (c) $\displaystyle{y = {\rm cosec}{x}}$ (d) $\displaystyle{y = \cot{x}}$

(e) $\displaystyle{y = x^{2}e^{x}}$ (f) $\displaystyle{y = e^{x}\sin{x}}$ (g) $\displaystyle{y = \frac{e^{x}}{\sin{x}}}$