導関数(derivatives)

確認問題

1.

次の関数の導関数を定義に基づいて求めよう．

(a) $${f(x) = c}$$ (b) $${f(x) = \sqrt{x-1}}$$ (c) $${f(x) = \frac{1}{x^{2}}}$$

2.

次の関数の$x = 2$での微分係数を定義に基づいて求めよう．

(a) $${f(x) = 5x - x^{2}}$$ (b) $${f(x) = （3x - 7)^{2}}$$

3.

次の曲線上の与えられた$a$に対応する点における接線の方程式を求めよう．

(a) $${f(x) = x^{2} - 5x + 3, a = 2}$$ (b) $${f(x) = 5 - x^{3}, a = 2}$$ (c) $${f(x) = \sqrt{x}, a = 4}$$

4.

次の関数の導関数を求めよう．

(a) $${y = 11x^{5} - 6x^{3} + 8}$$ (b) $${y = -\frac{1}{x^{2}}}$$ (c) $${y = (x^{2} - 1)(x-3)}$$

(d) $${y = \frac{x-1}{x-2}}$$ (e) $${y = \frac{x^{2}-1}{2x+3}}$$ (f) $${y = \frac{6 - 1/x}{x-2}}$$ (g) $${y = \frac{1 + x^{4}}{x^{2}}}$$

演習問題

1.

次の関数の導関数を定義に基づいて求めよう．

(a) $${f(x) = \cos{3x}}$$ (b) $${f(x) = (x + 2)^{n} (n : \mbox{整数})}$$

2.

次の関数の微分を求めよう．

(a) $${f(x) = x^4}$$ (b) $${f(x) = e^{x}}$$

3.

次の関数の $x = 0$ における右側微分係数，および左側微分係数を求めよう．

(a) $${f(x) = \vert x^2 + x\vert}$$ (b) $${f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^2 \sin{\frac{1}{x}}, & x \neq 0\\ 0, & x = 0 \end{array}\right.}$$ (c) $${f(x) = \sqrt{x^3 + x^2}}$$

4.

次の関数の導関数を求めよう．

(a) $${y = \frac{3x-1}{x^{2} + 1}}$$ (b) $${y = \sec{x}}$$ (c) $${y = {\rm cosec}{x}}$$ (d) $${y = \cot{x}}$$

(e) $${y = x^{2}e^{x}}$$ (f) $${y = e^{x}\sin{x}}$$ (g) $${y = \frac{e^{x}}{\sin{x}}}$$